Il test di Tukey è un metodo che mira a confrontare le medie individuali da un'analisi della varianza di più campioni sottoposti a trattamenti diversi.
Il test, presentato nel 1949 da John.W. Tukey, ci permette di discernere se i risultati ottenuti sono significativamente differenti oppure no. È anche noto come test della differenza onestamente significativa di Tukey (test HSD di Tukey).
Figura 1. Il test di Tukey ci permette di discernere se le differenze nei risultati tra tre o più trattamenti diversi applicati a tre o più gruppi con le stesse caratteristiche hanno valori medi significativamente e onestamente differenti.
Negli esperimenti in cui vengono confrontati tre o più trattamenti diversi applicati allo stesso numero di campioni, è necessario discernere se i risultati sono significativamente diversi o meno.
Si dice che un esperimento sia bilanciato quando la dimensione di tutti i campioni statistici è la stessa per ogni trattamento. Quando la dimensione dei campioni è diversa per ogni trattamento, si ha un esperimento sbilanciato.
A volte non basta con un'analisi della varianza (ANOVA) sapere se nel confronto di diversi trattamenti (o esperimenti) applicati a più campioni soddisfano l'ipotesi nulla (Ho: "tutti i trattamenti sono uguali") o, al contrario, soddisfa l'ipotesi alternativa (Ha: "almeno uno dei trattamenti è diverso").
Il test di Tukey non è unico, ci sono molti altri test per confrontare le medie campionarie, ma questo è uno dei più conosciuti e applicati.
Comparatore e tabella di Tukey
Nell'applicazione di questo test viene calcolato un valore w chiamato comparatore di Tukey la cui definizione è la seguente:
w = q √ (MSE / r)
Dove il fattore q è ottenuto da una tabella (tabella di Tukey), che consiste di righe di valori q per un diverso numero di trattamenti o esperimenti. Le colonne indicano il valore del fattore q per diversi gradi di libertà. Di solito le tabelle disponibili hanno un significato relativo di 0,05 e 0,01.
In questa formula, all'interno della radice quadrata compare il fattore MSE (Mean Square of Error) diviso per r, che indica il numero di ripetizioni. Il MSE è un numero che normalmente si ottiene da un'analisi delle varianze (ANOVA).
Quando la differenza tra due valori medi supera il valore w (comparatore di Tukey), si conclude che sono medie diverse, ma se la differenza è inferiore al numero di Tukey, si tratta di due campioni con valore medio statisticamente identico .
Il numero w è anche noto come numero HSD (Honestly Significant Difference).
Questo numero unico comparativo può essere applicato se il numero di campioni applicati per il test di ogni trattamento è lo stesso in ciascuno di essi.
Esperimenti sbilanciati
Quando per qualche motivo la dimensione dei campioni è diversa in ogni trattamento da confrontare, la procedura sopra descritta differisce leggermente ed è nota come test di Tukey-Kramer.
Ora si ottiene un numero di comparatore w per ogni coppia di trattamenti i, j:
w (i, j) = q √ (½ MSE / (ri + rj))
In questa formula, il fattore q è ottenuto dalla tabella di Tukey. Questo fattore q dipende dal numero di trattamenti e dai gradi di libertà dell'errore. r i è il numero di ripetizioni nel trattamento i, mentre r j è il numero di ripetizioni nel trattamento j.
Caso di esempio
Un allevatore di conigli desidera condurre uno studio statistico affidabile che gli indichi quale delle quattro marche di alimenti da ingrasso per conigli è la più efficace. Per lo studio, ha formato quattro gruppi con sei conigli di un mese e mezzo che fino ad allora avevano le stesse condizioni di alimentazione.
Le ragioni erano che nei gruppi A1 e A4 i decessi avvenivano per cause non imputabili al cibo, poiché uno dei conigli era stato morso da un insetto e nell'altro caso la morte era probabilmente la causa di un difetto congenito. Quindi i gruppi sono sbilanciati e quindi è necessario applicare il test di Tukey-Kramer.
Esercizio risolto
Per non allungare troppo i calcoli, verrà considerato come esercizio risolto un caso di esperimento equilibrato. Saranno presi come dati:
In questo caso, ci sono quattro gruppi corrispondenti a quattro diversi trattamenti. Tuttavia, osserviamo che tutti i gruppi hanno lo stesso numero di dati, quindi è un caso equilibrato.
Per eseguire l'analisi ANOVA, è stato utilizzato lo strumento incorporato nel foglio di calcolo Libreoffice. Altri fogli di calcolo come Excel hanno questo strumento incorporato per l'analisi dei dati. Di seguito è riportata una tabella riassuntiva risultante dopo che è stata eseguita l'analisi della varianza (ANOVA):
Dall'analisi della varianza, abbiamo anche il valore P, che per l'esempio è 2,24E-6, ben al di sotto del livello di significatività 0,05, che porta direttamente a rifiutare l'ipotesi nulla: tutti i trattamenti sono uguali.
Cioè, tra i trattamenti, alcuni hanno valori medi diversi, ma è necessario sapere quali sono i diversi statisticamente significativi e onestamente diversi (HSD) utilizzando il test di Tukey.
Per trovare il numero wo, poiché è noto anche il numero HSD, dobbiamo trovare il quadrato medio dell'errore MSE. Dall'analisi ANOVA si ottiene che la somma dei quadrati all'interno dei gruppi è SS = 0.2; e il numero di gradi di libertà all'interno dei gruppi è df = 16 con questi dati possiamo trovare MSE:
MSE = SS / df = 0,2 / 16 = 0,0125
È inoltre necessario trovare il fattore q di Tukey, utilizzando la tabella. La colonna 4, che corrisponde ai 4 gruppi o trattamenti da confrontare, e la riga 16 vengono cercate, poiché l'analisi ANOVA ha prodotto 16 gradi di libertà all'interno dei gruppi. Questo ci porta ad un valore di q pari a: q = 4,33 corrispondente a 0,05 di significatività o 95% di affidabilità. Infine si trova il valore per la "differenza onestamente significativa":
w = HSD = q √ (MSE / r) = 4,33 √ (0,0125 / 5) = 0,2165
Per sapere quali sono i gruppi o trattamenti onestamente diversi, devi conoscere i valori medi di ogni trattamento:
È inoltre necessario conoscere le differenze tra i valori medi delle coppie di trattamenti, che è riportato nella tabella seguente:
Si conclude che i migliori trattamenti, in termini di massimizzazione del risultato, sono T1 o T3, che sono indifferenti dal punto di vista statistico. Per scegliere tra T1 e T3, bisognerebbe cercare altri fattori al di fuori dell'analisi qui presentata. Ad esempio, prezzo, disponibilità, ecc.
Riferimenti
- Cochran William e Cox Gertrude. 1974. Disegni sperimentali. Trebbiatura. Messico. Terza ristampa. 661p.
- Snedecor, GW e Cochran, WG 1980. Metodi statistici. Settimo Ed. Iowa, The Iowa State University Press. 507p.
- Acciaio, RGD e Torrie, JH 1980. Principi e procedure di statistica: un approccio biometrico (2a ed.). McGraw-Hill, New York. 629p.
- Tukey, JW 1949. Confronto delle medie individuali nell'analisi della varianza. Biometria, 5: 99-114.
- Wikipedia. Il test di Tukey. Estratto da: en.wikipedia.com