PROBABILITÀ TEORICA: COME OTTENERLA, ESEMPI, ESERCIZI - DUDAS - 2026

La probabilità teorica (o di Laplace) che si verifichi un evento E che appartiene a uno spazio campionario S, in cui tutti gli eventi hanno la stessa probabilità di accadimento, è definita in notazione matematica come: P (E) = n (E) / N (S)

Dove P (E) è la probabilità, data come quoziente tra il numero totale di possibili esiti dell'evento E, che chiamiamo n (E), diviso per il numero totale N (S) di possibili esiti nello spazio campionario S.

Figura 1. Nel lancio di un dado a sei facce, la probabilità teorica che la testa tratteggiata sia in cima è ⅙. Fonte: Pixabay.

La probabilità teorica è un numero reale compreso tra 0 e 1, ma spesso è espressa come percentuale, nel qual caso la probabilità sarà un valore compreso tra 0% e 100%.

Calcolare la probabilità che si verifichi un evento è molto importante in molti campi, come la compravendita di azioni, le compagnie di assicurazione, il gioco d'azzardo e molti altri.

Come ottenere la probabilità teorica?

Un caso illustrativo è il caso di lotterie o lotterie. Supponiamo che 1.000 biglietti vengano emessi per estrarre uno smartphone. Poiché l'estrazione avviene in modo casuale, qualsiasi biglietto ha la stessa possibilità di essere un vincitore.

Per trovare la probabilità che una persona che acquista un biglietto con il numero 81 sia un vincitore, viene eseguito il seguente calcolo di probabilità teorico:

P (1) = 1 / 1.000 = 0,001 = 0,1%

Il risultato sopra è interpretato come segue: se l'estrazione fosse ripetuta infinite volte, ogni 1.000 volte il biglietto 81 verrebbe selezionato, in media, una volta.

Se per qualche motivo qualcuno acquisisce tutti i biglietti, vincerà sicuramente il premio. La probabilità di vincere il premio se hai tutti i biglietti è calcolata come segue:

P (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 = 100%.

Cioè, quella probabilità 1 o 100% significa che è assolutamente certo che questo risultato si verificherà.

Se qualcuno possiede 500 biglietti, le possibilità di vincere o perdere sono le stesse. La probabilità teorica di vincere il premio in questo caso è calcolata come segue:

P (500) = 500 / 1.000 = ½ = 0,5 = 50%.

Chi non acquista alcun biglietto non ha possibilità di vincita e la sua probabilità teorica è determinata come segue:

P (0) = 0 / 1.000 = 0 = 0%

Esempi

Esempio 1

Hai una moneta con una faccia da un lato e uno scudo o un sigillo dall'altro. Quando la moneta viene lanciata, qual è la probabilità teorica che venga fuori testa?

P (faccia) = n (faccia) / N (faccia + schermo) = ½ = 0,5 = 50%

Il risultato è interpretato come segue: se si effettuasse un numero enorme di lanci, in media ogni 2 lanci uno di essi uscirà testa.

In termini percentuali, l'interpretazione del risultato è che eseguendo un numero infinitamente elevato di lanci, in media su 100 di essi 50 risulterebbero testa.

Esempio 2

In una scatola ci sono 3 biglie blu, 2 biglie rosse e 1 verde. Qual è la probabilità teorica che quando prendi una biglia dalla scatola sia rossa?

Figura 2. Probabilità di estrazione dei marmi colorati. Fonte: F. Zapata.

La probabilità che risulti rosso è:

P (rosso) = Numero di casi favorevoli / Numero di casi possibili

Vale a dire:

P (rosso) = Numero di biglie rosse / Numero totale di biglie

Infine, la probabilità che venga disegnata una biglia rossa è:

P (rosso) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Mentre la probabilità che quando si disegna una biglia verde sia:

P (verde) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Infine, la probabilità teorica di ottenere una biglia blu in un'estrazione alla cieca è:

P (blu) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Cioè, per ogni 2 tentativi il risultato sarà blu in uno di essi e un altro colore in un altro tentativo, con la premessa che la biglia estratta viene sostituita e che il numero di prove è molto, molto grande.

esercizi

Esercizio 1

Determina la probabilità che il lancio di un dado ottenga un valore minore o uguale a 4.

Soluzione

Per calcolare la probabilità che questo evento si verifichi, verrà applicata la definizione di probabilità teorica:

P (≤4) = Numero di casi favorevoli / Numero di casi possibili

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Esercizio 2

Trova la probabilità che su due tiri consecutivi di un normale dado a sei facce, 5 tiri 2 volte.

Soluzione

Per rispondere a questo esercizio, crea una tabella che mostri tutte le possibilità. La prima cifra indica il risultato del primo dado e la seconda il risultato dell'altro.

Per calcolare la probabilità teorica occorre conoscere il numero totale di casi possibili, in questo caso, come si può vedere dalla tabella precedente, ci sono 36 possibilità.

Anche osservando la tabella, si può dedurre che il numero di casi favorevoli all'evento che nei due lanci consecutivi ne esce 5 è solo 1, evidenziato con colore, quindi la probabilità che si verifichi questo evento è:

P (5 x 5) = 1/36.

A questo risultato si sarebbe potuto arrivare anche utilizzando una delle proprietà della probabilità teorica, che afferma che la probabilità combinata di due eventi indipendenti è il prodotto delle loro probabilità individuali.

In questo caso la probabilità che il primo lancio tiri 5 è ⅙. Il secondo lancio è completamente indipendente dal primo, quindi anche la probabilità che 5 venga tirato nel secondo è ⅙. Quindi la probabilità combinata è:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Esercizio 3

Trova la probabilità che al primo lancio venga lanciato un numero inferiore a 2 e al secondo lancio un numero maggiore di 2.

Soluzione

Anche in questo caso si deve costruire una tabella degli eventi possibili, dove vengono sottolineati quelli in cui il primo tiro è stato minore di 2 e nel secondo maggiore di 2.

In totale ci sono 4 possibilità su un totale di 36. Cioè, la probabilità di questo evento è:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Usando il teorema di probabilità che afferma:

Lo stesso risultato si ottiene:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Il valore ottenuto con questa procedura coincide con il risultato precedente, mediante la definizione teorica o classica di probabilità.

Esercizio 4

Qual è la probabilità che quando si lanciano due dadi la somma dei valori sia 7.

Soluzione

Per trovare la soluzione in questo caso è stata redatta una tabella delle possibilità in cui sono stati indicati a colori i casi che soddisfano la condizione che la somma dei valori sia 7.

Guardando la tabella, si possono contare 6 casi possibili, quindi la probabilità è:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Riferimenti

1. Canavos, G. 1988. Probabilità e statistica: applicazioni e metodi. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilità e statistica per l'ingegneria e la scienza. 8 °. Edizione. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teoria della probabilità. Editoriale Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze. Pearson.