PROBABILITÀ CONDIZIONATA: FORMULA ED EQUAZIONI, PROPRIETÀ, ESEMPI - DUDAS - 2026

La probabilità condizionata è la possibilità che si verifichi un determinato evento, dato che un altro si verifica come condizione. Queste informazioni aggiuntive possono (o non possono) modificare la percezione che qualcosa accadrà.

Ad esempio, possiamo chiederci: "Qual è la probabilità che piova oggi, visto che non piove da due giorni?" L'evento di cui si vuole conoscere la probabilità è che oggi piova e l'informazione aggiuntiva che condizionerebbe la risposta è che “non piove da due giorni”.

Figura 1. Anche la probabilità che piova oggi dato che ieri ha piovuto è un esempio di probabilità condizionata. Fonte: Pixabay.

Sia uno spazio di probabilità composto da Ω (spazio campionario), ℬ (gli eventi casuali) e P (la probabilità di ogni evento), più gli eventi A e B che appartengono a ℬ.

La probabilità condizionata che si verifichi A, dato che si è verificato B, che è denotata come P (A│B), è definita come segue:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A e B) / P (B)

Dove: P (A) è la probabilità che si verifichi A, P (B) è la probabilità dell'evento B ed è diversa da 0, e P (A∩B) è la probabilità dell'intersezione tra A e B, cioè, , la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi (probabilità congiunta).

Questa è un'espressione del teorema di Bayes applicato a due eventi, proposto nel 1763 dal teologo e matematico inglese Thomas Bayes.

Proprietà

-Tutte le probabilità condizionate sono comprese tra 0 e 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-La probabilità che si verifichi l'evento A, dato che si verifica tale evento, è ovviamente 1:

P (A│A) = P (AA) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Se due eventi sono esclusivi, cioè eventi che non possono accadere contemporaneamente, la probabilità condizionale che uno di essi accada è 0, poiché l'intersezione è nulla:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Se B è un sottoinsieme di A, anche la probabilità condizionale è 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Importante

P (A│B) generalmente non è uguale a P (B│A), quindi dobbiamo stare attenti a non scambiare gli eventi quando si trova la probabilità condizionata.

Regola generale di moltiplicazione

Molte volte si desidera trovare la probabilità congiunta P (A∩B), piuttosto che la probabilità condizionata. Quindi, attraverso il seguente teorema abbiamo:

P (A∩B) = P (A e B) = P (A│B). P (B)

Il teorema può essere esteso per tre eventi A, B e C:

P (A∩B∩C) = P (A e B e C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

E anche per vari eventi, come A ₁ , A ₂ , A ₃ e altri, può essere espresso come segue:

P ( LA ₁ ∩ LA ₂ ∩ LA ₃ … ∩ LA _n ) = P (LA ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ )… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1 )

Quando si tratta di eventi che si verificano in sequenza e attraverso diverse fasi, è conveniente organizzare i dati in un diagramma o in una tabella. Ciò semplifica la visualizzazione delle opzioni per raggiungere la probabilità richiesta.

Esempi sono il diagramma ad albero e la tabella di contingenza. Da uno di loro puoi costruire l'altro.

Esempi di probabilità condizionata

Diamo un'occhiata ad alcune situazioni in cui le probabilità di un evento vengono alterate dal verificarsi di un altro:

- Esempio 1

In una pasticceria si vendono due tipi di torte: fragola e cioccolato. Registrando le preferenze di 50 clienti di entrambi i sessi, sono stati determinati i seguenti valori:

-27 donne, di cui 11 preferiscono la torta di fragole e 16 al cioccolato.

-23 uomini: 15 scelgono il cioccolato e 8 la fragola.

La probabilità che un cliente scelga una torta al cioccolato può essere determinata applicando la regola di Laplace, secondo la quale la probabilità di qualsiasi evento è:

P = numero di eventi favorevoli / numero totale di eventi

In questo caso, su 50 clienti, un totale di 31 preferiscono il cioccolato, quindi la probabilità sarebbe P = 31/50 = 0,62. Cioè, il 62% dei clienti preferisce la torta al cioccolato.

Ma sarebbe diverso se il cliente fosse una donna? Questo è un caso di probabilità condizionata.

Tabella di contingenza

Utilizzando una tabella di contingenza come questa, i totali vengono visualizzati facilmente:

Quindi si osservano i casi favorevoli e si applica la regola di Laplace, ma prima definiamo gli eventi:

-B è l'evento "cliente femminile".

-A è l'evento "preferisco la torta al cioccolato" da donna.

Andiamo alla colonna "donne" e lì vediamo che il totale è 27.

Quindi si cerca il caso favorevole nella riga "cioccolato". Ci sono 16 di questi eventi, quindi la probabilità ricercata è, direttamente:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

Il 59,24% delle clienti di sesso femminile preferisce la torta al cioccolato.

Questo valore corrisponde quando lo confrontiamo con la definizione data inizialmente di probabilità condizionata:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Ci assicuriamo di utilizzare la regola di Laplace ei valori della tabella:

P (B) = 27/50

P (A e B) = 16/50

Dove P (A e B) è la probabilità che il cliente preferisca il cioccolato ed è una donna. Ora i valori vengono sostituiti:

P (A│B) = P (A e B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Ed è dimostrato che il risultato è lo stesso.

- Esempio 2

In questo esempio si applica la regola della moltiplicazione. Supponiamo che in un negozio siano esposti pantaloni di tre taglie: piccolo, medio e grande.

In un lotto con un totale di 24 pantaloni, di cui ce ne sono 8 per taglia e sono tutti misti, quale sarebbe la probabilità di estrarne due e che entrambi fossero piccoli?

È chiaro che la probabilità di togliere un pantalone piccolo al primo tentativo è 8/24 = 1/3. Ora, la seconda estrazione è condizionata al primo evento, poiché quando si rimuove un paio di pantaloni non ce ne sono più 24, ma 23. E se si rimuove un pantalone piccolo, ci sono 7 invece di 8.

L'evento A sta tirando un pantalone, dopo averne tirato un altro al primo tentativo. E l'evento B è quello con i pantaloni piccoli per la prima volta. Così:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Infine, utilizzando la regola della moltiplicazione:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Esercizio risolto

In uno studio sulla puntualità sui voli aerei commerciali, sono disponibili i seguenti dati:

-P (B) = 0,83, è la probabilità che un aereo decolli in tempo.

-P (A) = 0,81, è la probabilità di atterrare in tempo.

-P (B∩A) = 0.78 è la probabilità che il volo arrivi puntuale decollando puntuale.

Viene chiesto di calcolare:

a) Qual è la probabilità che l'aereo atterri in orario visto che è decollato in orario?

b) La probabilità di cui sopra è uguale alla probabilità che sei partito in tempo se sei riuscito ad atterrare in tempo?

c) E infine: qual è la probabilità che arrivi in ​​orario visto che non è partito in tempo?

Figura 2. La puntualità sui voli commerciali è importante, poiché i ritardi generano perdite per milioni di dollari. Fonte: Pixabay.

Soluzione a

Per rispondere alla domanda viene utilizzata la definizione di probabilità condizionata:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A e B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Soluzione b

In questo caso vengono scambiati gli eventi nella definizione:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A e B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Nota che questa probabilità è leggermente diversa dalla precedente, come abbiamo sottolineato in precedenza.

Soluzione c

La probabilità di non partire in orario è 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, lo chiameremo P (B ^C ), perché è l'evento complementare a decollare in tempo. La probabilità condizionata ricercata è:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A e B ^C ) / P (B ^C )

D'altro canto:

P (A∩B ^C ) = P (orario di atterraggio) - P (orario di atterraggio e decollo) = 0,81-0,78 = 0,03

In questo caso la probabilità condizionata ricercata è:

P (A│B ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Riferimenti

1. Canavos, G. 1988. Probabilità e statistica: applicazioni e metodi. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilità e statistica per l'ingegneria e la scienza. 8 °. Edizione. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teoria della probabilità. Editoriale Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze. Pearson.
6. Wikipedia. Probabilità condizionale. Estratto da: es.wikipedia.org.