PERMUTAZIONI SENZA RIPETIZIONE: FORMULE, DIMOSTRAZIONI, ESERCIZI, ESEMPI - DUDAS - 2025

Una permutazione senza ripetizione di n elementi sono i diversi gruppi di diversi elementi che possono essere ottenuti non ripetendo alcun elemento, ma solo variando l'ordine di posizionamento degli elementi.

Per scoprire il numero di permutazioni senza ripetizioni, viene utilizzata la seguente formula:

Pn = n!

Quale espanso sarebbe Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Quindi nel precedente esempio pratico sarebbe applicato come segue:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 diversi numeri a 4 cifre.

Questi sono i 24 array in totale: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Come si può vedere, in ogni caso non c'è ripetizione, essendo 24 numeri diversi.

Demo e formule

24 composizioni di 4 figure differenti

Analizzeremo più specificamente l'esempio dei 24 diversi arrangiamenti a 4 cifre che possono essere formati con le cifre del numero 2468. Il numero di accordi (24) può essere conosciuto come segue:

Hai 4 opzioni per selezionare la prima cifra, che lascia 3 opzioni per selezionare la seconda. Sono già state impostate due cifre e restano 2 opzioni per selezionare la terza cifra. L'ultima cifra ha una sola opzione di selezione.

Pertanto, il numero di permutazioni, indicato con P4, è ottenuto dal prodotto delle opzioni di selezione in ciascuna posizione:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 diversi numeri a 4 cifre

In generale, il numero di diverse permutazioni o arrangiamenti che possono essere eseguiti con tutti gli n elementi di un dato insieme è:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

L'espressione n! è noto come n fattoriale e significa il prodotto di tutti i numeri naturali che si trovano tra il numero ne il numero uno, inclusi entrambi.

12 disposizioni di 2 figure differenti

Supponiamo ora di voler conoscere il numero di permutazioni o numeri a due cifre che possono essere formati con le cifre del numero 2468.

Questi sarebbero 12 arrangiamenti in totale: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Hai 4 opzioni per selezionare la prima cifra, che lascia 3 cifre per selezionare la seconda. Pertanto, il numero di permutazioni delle 4 cifre prese a due a due, denotate da 4P2, è ottenuto dal prodotto delle opzioni di selezione in ciascuna posizione:

4P2 = 4 * 3 = 12 diversi numeri a 2 cifre

In generale, il numero di diverse permutazioni o arrangiamenti che possono essere eseguiti con r elementi di n in totale in un dato insieme è:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

L'espressione precedente viene troncata prima di suonare n!. Per completare n! da esso dovremmo scrivere:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

I fattori che aggiungiamo, a loro volta, rappresentano un fattoriale:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Quindi,

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Da qui

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Esempi

Esempio 1

Quante diverse combinazioni di 5 lettere di lettere possono essere costruite con le lettere della parola CHIAVE?

Vogliamo trovare il numero di diverse combinazioni di lettere di 5 lettere che possono essere costruite con le 5 lettere della parola CHIAVE; ovvero, il numero di array di 5 lettere che comprendono tutte le lettere disponibili nella parola KEY.

N ° di parole di 5 lettere = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 diverse combinazioni di 5 lettere.

Questi sarebbero: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC … fino a 120 diverse combinazioni di lettere in totale.

Esempio 2

Hai 15 palline numerate e vuoi sapere quanti diversi gruppi di 3 palline si possono costruire con le 15 palline numerate?

Vuoi trovare il numero di gruppi di 3 palline che possono essere realizzati con le 15 palline numerate.

N ° di gruppi di 3 palline = 15P3 = 15! / (15-3)!

N ° gruppi di 3 palline = 15 * 14 * 13 = 2730 gruppi di 3 palline

Esercizi risolti

Esercizio 1

Un fruttivendolo dispone di uno stand espositivo costituito da una fila di vani posti nell'atrio d'ingresso dei locali. In un giorno, il fruttivendolo acquista in vendita: arance, banane, ananas, pere e mele.

a) In quanti modi diversi avete per ordinare lo stand fieristico?

b) In quanti modi diversi hai per ordinare la bancarella se oltre ai frutti menzionati (5), hai ricevuto quel giorno: manghi, pesche, fragole e uva (4)?

a) Vogliamo trovare il numero di modi diversi per ordinare tutti i frutti nella riga del display; ovvero, il numero di composizioni di 5 articoli di frutta che coinvolgono tutti i frutti disponibili per la vendita in quel giorno.

N ° allestimenti stand = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° allestimenti stand = 120 modalità di presentazione dello stand

b) Vogliamo trovare il numero di modi diversi per ordinare tutti i frutti nella riga del display se sono stati aggiunti 4 articoli aggiuntivi; ovvero il numero di composizioni di 9 articoli di frutta che coinvolgono tutti i frutti disponibili per la vendita in quel giorno.

N ° allestimenti stand = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° allestimenti stand = 362.880 modi di presentazione dello stand

Esercizio 2

Un piccolo punto vendita di cibo ha un appezzamento di terreno con spazio sufficiente per parcheggiare 6 veicoli.

a) Quanti modi diversi di ordinare i veicoli nel lotto possono essere selezionati?

b) Supponiamo di acquistare un appezzamento di terreno contiguo le cui dimensioni consentono di parcheggiare 10 veicoli, quante diverse forme di disposizione dei veicoli possono essere selezionate adesso?

a) Vogliamo trovare il numero delle diverse modalità di ordinazione dei 6 veicoli che possono essere ospitati nel lotto di terreno.

Numero di disposizioni dei 6 veicoli = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Numero di disposizione dei 6 veicoli = 720 modi diversi di ordinare i 6 veicoli nel lotto.

b) Vogliamo trovare il numero di diverse modalità di ordinazione dei 10 veicoli che possono essere ospitati nell'appezzamento di terreno dopo l'ampliamento dell'appezzamento di terreno.

N ° allestimenti dei 10 veicoli = P10 = 10!

Numero di disposizioni del veicolo = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Numero di disposizioni dei 10 veicoli = 3.628.800 modi diversi di ordinare i 10 veicoli nel lotto di terreno.

Esercizio 3

Un fioraio ha fiori di 6 colori diversi per realizzare bandiere floreali di nazioni che hanno solo 3 colori. Se è noto che l'ordine dei colori è importante nelle bandiere,

a) Quante bandiere differenti di 3 colori si possono realizzare con i 6 colori disponibili?

b) Il venditore acquista fiori di 2 colori aggiuntivi ai 6 che già aveva, ora quante bandiere diverse di 3 colori si possono realizzare?

c) Dato che hai 8 colori, decidi di ampliare la tua gamma di bandiere Quante diverse bandiere a 4 colori puoi realizzare?

d) Quanti di 2 colori?

a) Vogliamo trovare il numero di bandiere differenti di 3 colori che si possono realizzare selezionando tra i 6 colori disponibili.

N ° bandiere a 3 colori = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

N ° di bandiere a 3 colori = 6 * 5 * 4 = 120 bandiere

b) Si vuole trovare il numero di bandiere differenti di 3 colori che si possono realizzare selezionando tra gli 8 colori disponibili.

N ° bandiere a 3 colori = 8P3 = 8! / (8-3)!

N ° di bandiere a 3 colori = 8 * 7 * 6 = 336 bandiere

c) Deve essere calcolato il numero delle diverse bandiere a 4 colori che possono essere realizzate selezionando tra gli 8 colori disponibili.

Numero di bandiere a 4 colori = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Numero di bandiere a 4 colori = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 bandiere

d) Si desidera determinare il numero di flag bicolori differenti che possono essere realizzati selezionando tra gli 8 colori disponibili.

N ° bandiere bicolore = 8P2 = 8! / (8-2)!

Numero di bandiere a 2 colori = 8 * 7 = 56 bandiere

Riferimenti

1. Boada, A. (2017). Uso della permutazione con la ripetizione come insegnamento di esperimenti. Rivista Vivat Academia. Recuperato da researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Probabilità e statistica. Applicazioni e metodi. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Vetro, G.; Stanley, J. (1996). Metodi statistici non applicati alle scienze sociali. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistiche. Quarta ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Sì, Ka. (2007). Probabilità e statistiche per ingegneri e scienziati. Ottavo ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistiche applicate alle imprese e all'economia. Terza ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutazione. Estratto da en.wikipedia.org.