PERMUTAZIONI CIRCOLARI: DIMOSTRAZIONI, ESEMPI, ESERCIZI RISOLTI - DUDAS - 2026

Le permutazioni circolari sono diversi tipi di raggruppamenti di tutti gli elementi di un insieme, quando devono essere disposti in cerchi. In questo tipo di permutazione l'ordine è importante e gli elementi non vengono ripetuti.

Ad esempio, supponi di voler conoscere il numero di matrici distinte di cifre da uno a quattro, posizionando ogni numero in uno dei vertici di un rombo. Questi sarebbero 6 arrangiamenti in totale:

Non deve essere confuso che il numero uno è nella posizione superiore del rombo in tutti i casi come posizione fissa. Le permutazioni circolari non vengono modificate dalla rotazione della matrice. Le seguenti sono una singola o la stessa permutazione:

Demo e formule

Nell'esempio dei diversi array circolari a 4 cifre situati ai vertici di un rombo, il numero di array (6) può essere trovato in questo modo:

1- Una qualsiasi delle quattro cifre viene presa come punto di partenza in uno qualsiasi dei vertici e avanza al vertice successivo. (non importa se viene ruotato in senso orario o antiorario)

2- Ci sono 3 opzioni rimaste per selezionare il secondo vertice, poi ci sono 2 opzioni per selezionare il terzo vertice e, ovviamente, c'è solo un'opzione di selezione per il quarto vertice.

3- Pertanto, il numero di permutazioni circolari, indicato con (4 - 1) P (4 - 1), è ottenuto dal prodotto delle opzioni di selezione in ciascuna posizione:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 diverse matrici circolari a 4 cifre.

In generale, il numero di permutazioni circolari che si possono ottenere con tutti gli n elementi di un insieme è:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Notare che (n - 1)! È noto come n fattoriale e abbrevia il prodotto di tutti i numeri dal numero (n - 1) al numero uno, compreso.

Esempi

Esempio 1

In quanti modi diversi devono sedere 6 persone a un tavolo circolare?

Vuoi trovare il numero di modi diversi in cui 6 persone possono sedersi attorno a una tavola rotonda.

N ° modi per sedersi = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Numero di modi per sedersi = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 modi diversi

Esempio 2

In quanti modi diversi hanno 5 persone per posizionarsi ai vertici di un pentagono?

Viene ricercato il numero di modi in cui 5 persone possono essere posizionate in ciascuno dei vertici di un pentagono.

N ° vie da individuare = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

N ° vie da localizzare = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 vie diverse

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Un gioielliere acquista 12 diverse pietre preziose per posizionarle nelle punte delle ore di un orologio che sta preparando per conto della casa reale di un paese europeo.

a) In quanti modi diversi ha a disposizione per disporre le pietre sull'orologio?

b) Quante forme diverse ha se la pietra che va a ore 12 è unica?

c) Quante forme diverse se la pietra a ore 12 è unica e le pietre agli altri tre punti cardinali, a ore 3, 6 e 9; Ci sono tre pietre particolari, che possono essere scambiate, e il resto delle ore è assegnato dal resto delle pietre?

soluzioni

a) Viene richiesto il numero di modi per disporre tutte le pietre sulla circonferenza dell'orologio; cioè il numero di disposizioni circolari che coinvolgono tutte le pietre disponibili.

Numero di accordi sull'orologio = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Numero di correzioni sull'orologio = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Numero di disposizioni sull'orologio = 39976800 forme diverse

b) Si chiede quanti modi diversi di ordinare esistano, sapendo che la pietra sulla maniglia delle ore 12 è unica e fissa; cioè il numero di disposizioni circolari che coinvolgono le restanti 11 pietre.

Numero di accordi sull'orologio = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Numero di correzioni sull'orologio = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Numero di disposizioni sull'orologio = 3.628.800 forme diverse

c) Infine, si cerca il numero di modi per ordinare tutte le pietre tranne la pietra delle 12 che è fissa, le pietre 3, 6 e 9 che hanno 3 pietre da assegnare l'una all'altra; cioè 3! possibilità di disposizione e numero di disposizioni circolari che coinvolgono le restanti 8 pietre.

Numero di correzioni nell'orologio = 3! * = 3! * (8–1)!

Numero di arrangiamenti nell'orologio = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Numero di disposizioni sull'orologio = 241920 forme diverse

- Esercizio 2

Il comitato direttivo di un'azienda è composto da 8 membri e si riuniscono a un tavolo ovale.

a) Quante diverse forme di disposizione attorno al tavolo ha il comitato?

b) Supponiamo che il presidente sieda a capotavola in qualsiasi disposizione del comitato, quante diverse forme di disposizione ha il resto del comitato?

c) Supponiamo che il vicepresidente e il segretario siedano su entrambi i lati del presidente in qualsiasi disposizione di commissione: quante diverse forme di disposizione ha il resto della commissione?

soluzioni

a) Vogliamo trovare il numero di modi diversi per disporre i 12 membri del comitato attorno al tavolo ovale.

N ° di accordi di comitato = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

N ° di accordi di comitato = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° di accordi di comitato = 39976800 forme diverse

b) Poiché il presidente del comitato si trova in una posizione fissa, si cerca il numero di modi per ordinare i restanti 11 membri del comitato attorno al tavolo ovale.

N ° di accordi di comitato = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Numero di accordi del comitato = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° di accordi di comitato = 3.628.800 forme diverse

c) Il presidente si trova in una posizione fissa e ai lati si trovano il vice presidente e il segretario con due possibilità di sistemazione: vice presidente a destra e segretario a sinistra o vice presidente a sinistra e segretario a destra. Quindi si desidera trovare il numero di modi diversi per disporre i restanti 9 membri del comitato attorno al tavolo ovale e moltiplicare per le 2 forme di accordi che hanno il vicepresidente e il segretario.

N ° di accordi del comitato = 2 * = 2 *

N ° di accordi di comitato = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

N ° di accordi di comitato = 80640 forme diverse

Riferimenti

1. Boada, A. (2017). Uso della permutazione con la ripetizione come insegnamento di esperimenti. Rivista Vivat Academia. Recuperato da researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Probabilità e statistica. Applicazioni e metodi. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Vetro, G.; Stanley, J. (1996). Metodi statistici non applicati alle scienze sociali. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistiche. Quarta ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Sì, Ka. (2007). Probabilità e statistiche per ingegneri e scienziati. Ottavo ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistiche applicate alle imprese e all'economia. Terza ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutazione. Estratto da en.wikipedia.org.