ANGOLI SUPPLEMENTARI: COSA SONO, CALCOLI, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

Due o più sono angoli supplementari se la somma delle loro misure corrisponde alla misura di un angolo retto. La misura di un angolo retto, chiamato anche angolo piano, in gradi è 180º e in radianti è π.

Ad esempio, troviamo che i tre angoli interni di un triangolo sono supplementari, poiché la somma delle loro misure è 180º. Tre angoli sono mostrati nella Figura 1. Da quanto sopra segue che α e β sono supplementari, poiché sono adiacenti e la loro somma completa un angolo retto.

Figura 1: α e β sono supplementari. α e γ sono supplementari. Fonte: F. Zapata.

Sempre nella stessa figura abbiamo gli angoli α e γ che sono anche supplementari, perché la somma delle loro misure è uguale alla misura di un angolo piano, cioè 180º. Non si può dire che gli angoli β e γ siano supplementari perché, essendo entrambi ottusi, le loro misure sono maggiori di 90º e quindi la loro somma supera 180º.

Fonte: lifeder.com

Invece si può affermare che la misura dell'angolo β è uguale alla misura dell'angolo γ, poiché se β è supplementare a α e γ è supplementare a α, allora β = γ = 135º.

Esempi

Negli esempi seguenti viene chiesto di trovare gli angoli sconosciuti, indicati con punti interrogativi in ​​figura 2. Si va dagli esempi più semplici ad alcuni un po 'più elaborati che il lettore dovrebbe fare più attento.

Figura 2. Diversi esempi elaborati di angoli supplementari. Fonte: F. Zapata.

Esempio A

Nella figura abbiamo che gli angoli adiacenti α e 35º si sommano ad un angolo piano. Cioè, α + 35º = 180º e quindi è vero che: α = 180º- 35º = 145º.

Esempio B

Poiché β è supplementare con l'angolo di 50º, ne consegue che β = 180º - 50º = 130º.

Esempio C

Dalla figura 2C si può osservare la seguente somma: γ + 90º + 15º = 180º. Cioè, γ è supplementare con l'angolo 105º = 90º + 15º. Si conclude quindi che:

γ = 180º- 105º = 75º

Esempio D

Poiché X è supplementare a 72º, ne segue che X = 180º - 72º = 108º. Inoltre Y è supplementare con X, quindi Y = 180º - 108º = 72º.

Infine Z è supplementare con 72º, quindi Z = 180º - 72º = 108º.

Esempio E

Gli angoli δ e 2δ sono supplementari, quindi δ + 2δ = 180º. Il che significa che 3δ = 180º, e questo a sua volta ci permette di scrivere: δ = 180º / 3 = 60º.

Esempio F

Se chiamiamo l'angolo tra 100º e 50º U, allora U è supplementare ad essi, perché si osserva che la loro somma completa un angolo piano.

Ne consegue immediatamente che U = 150º. Poiché U è opposta dal vertice a W, allora W = U = 150º.

esercizi

Di seguito vengono proposti tre esercizi, in tutti è necessario trovare il valore degli angoli A e B in gradi, in modo che siano soddisfatte le relazioni mostrate in figura 3. Il concetto di angoli supplementari viene utilizzato per risolverli tutti.

Figura 3. Figura per risolvere gli esercizi I, II e III su angoli supplementari. Tutti gli angoli sono in gradi. Fonte: F. Zapata.

- Esercizio I.

Determina i valori degli angoli A e B dalla parte I) della Figura 3.

Soluzione

A e B sono supplementari, da cui abbiamo che A + B = 180 gradi, quindi l'espressione di A e B viene sostituita in funzione di x, come appare nell'immagine:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

Si ottiene un'equazione lineare del primo ordine. Per risolverlo, i termini sono raggruppati di seguito:

6 x + 60 = 180

Dividendo entrambi i membri per 6 abbiamo:

x + 10 = 30

E risolvendo infine, ne consegue che x vale 20º.

Ora dobbiamo inserire il valore di x per trovare gli angoli richiesti. Quindi, l'angolo A è: A = 20 +15 = 35º.

E da parte sua, l'angolo B è B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- Esercizio II

Trova i valori degli angoli A e B dalla Parte II) della Figura 3.

Soluzione

Poiché A e B sono angoli supplementari, abbiamo che A + B = 180 gradi. Sostituendo l'espressione per A e B in funzione di x data nella parte II) della figura 3, abbiamo:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Ancora una volta si ottiene un'equazione di primo grado, per la quale i termini devono essere opportunamente raggruppati:

6 x + 60 = 180

Dividendo entrambi i membri per 6 abbiamo:

x + 10 = 30

Da cui segue che x vale 20º.

In altre parole, l'angolo A = -2 * 20 + 90 = 50º. Mentre l'angolo B = 8 * 20 - 30 = 130º.

- Esercizio III

Determina i valori degli angoli A e B dalla parte III) della Figura 3 (in verde).

Soluzione

Poiché A e B sono angoli supplementari, abbiamo che A + B = 180 gradi. Dobbiamo sostituire l'espressione con A e B in funzione di x data in figura 3, da cui abbiamo:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Dividendo entrambi i membri per 12 per risolvere il valore di x, abbiamo:

x + 5 = 15

Infine si trova che x vale 10 gradi.

Ora procediamo alla sostituzione per trovare l'angolo A: A = 5 * 10-20 = 30º. E per l'angolo B: B = 7 * 10 + 80 = 150º

Angoli supplementari in due paralleli tagliati da una secante

Figura 4. Angoli tra due paralleli tagliati da una secante. Fonte: F. Zapata.

Due linee parallele tagliate da una secante sono una costruzione geometrica comune in alcuni problemi. Tra tali linee, vengono formati 8 angoli come mostrato nella figura 4.

Di questi 8 angoli, alcune coppie di angoli sono supplementari, che elenchiamo di seguito:

1. Gli angoli esterni A e B e gli angoli esterni G e H
2. Gli angoli interni D e C e gli angoli interni E e F
3. Gli angoli esterni A e G e gli angoli esterni B e H
4. Gli angoli interni D ed E, e gli interni C e F

Per completezza, vengono anche denominati gli angoli uguali tra loro:

1. Le alterne interne: D = F e C = E
2. Le alterne esterne: A = H e B = G
3. Quelli corrispondenti: A = E e C = H
4. Gli opposti del vertice A = C ed E = H
5. Quelle corrispondenti: B = F e D = G
6. Vertice opposti B = D e F = G

- Esercizio IV

Facendo riferimento alla Figura 4, che mostra gli angoli tra due rette parallele tagliate da una secante, determinare il valore di tutti gli angoli in radianti, sapendo che l'angolo A = π / 6 radianti.

Soluzione

A e B sono angoli esterni supplementari quindi B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

Riferimenti

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Centro culturale americano.
2. Leggi e formule matematiche. Sistemi di misura angolari. Estratto da: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Estratto da: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Angoli supplementari. Estratto da: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Trasportatore. Estratto da: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: storia, parti, operazione. Estratto da: lifeder.com