ANGOLI COMPLEMENTARI: QUALI E COME VENGONO CALCOLATI, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

Due o più angoli sono angoli complementari se la somma delle loro misure corrisponde a quella di un angolo retto. Come è noto, la misura di un angolo retto in gradi è 90º, e in radianti è π / 2.

Ad esempio, i due angoli adiacenti all'ipotenusa di un triangolo rettangolo sono tra loro complementari, poiché la somma delle loro misure è di 90º. La figura seguente è molto illustrativa a questo proposito:

Figura 1. A sinistra, diversi angoli con un vertice comune. A destra, un angolo di 60º che completa l'angolo α (alfa). Fonte: F. Zapata.

Nella figura 1 sono mostrati un totale di quattro angoli. α e β sono complementari poiché sono adiacenti e la loro somma completa un angolo retto. Allo stesso modo β è complementare a γ, da cui segue che γ e α sono di uguale misura.

Ora, poiché la somma di α e δ è uguale a 90 gradi, si può affermare che α e δ sono complementari. Inoltre, poiché β e δ hanno la stessa complementare α, si può dire che β e δ hanno la stessa misura.

Esempi di angoli complementari

I seguenti esempi chiedono di trovare gli angoli sconosciuti, contrassegnati da punti interrogativi nella figura 2.

Figura 2. Vari esempi di angoli complementari. Fonte: F. Zapata.

- Esempi A, B e C

I seguenti esempi sono in ordine di complessità.

Esempio A

Nella figura sopra abbiamo che gli angoli adiacenti α e 40º si sommano ad un angolo retto. Cioè, α + 40º = 90º, quindi α = 90º- 40º = 50º.

Esempio B

Poiché β è complementare all'angolo di 35º, allora β = 90º - 35º = 55º.

Esempio C

Dalla figura 2C abbiamo che la somma di γ + 15º + 15º = 90º. In altre parole, γ è complementare all'angolo 30º = 15º + 15º. Così che:

γ = 90º - 30º = 60º

- Esempi D, E e F

In questi esempi sono coinvolti più angoli. Per trovare le incognite, il lettore deve applicare il concetto di angolo complementare tutte le volte che è necessario.

Esempio D

Poiché X è complementare a 72º, ne segue che X = 90º - 72º = 18º. Inoltre Y è complementare a X, quindi Y = 90º - 18º = 72º.

Infine Z è complementare con Y. Da tutto quanto sopra segue che:

Z = 90º - 72º = 18º

Esempio E

Gli angoli δ e 2δ sono complementari, quindi δ + 2δ = 90º.

Cioè, 3δ = 90º, il che implica che δ = 90º / 3 = 30º.

Esempio F

Se chiamiamo l'angolo tra que e 10º U, allora U è supplementare per entrambi, perché si osserva che la loro somma completa un angolo retto. Da cui segue che U = 80º. Poiché U è complementare a ω, allora ω = 10º.

esercizi

Di seguito vengono proposti tre esercizi. In tutti si deve trovare il valore degli angoli A e B in gradi, in modo che le relazioni mostrate in figura 3 siano soddisfatte.

Figura 3. Illustrazioni per esercizi angolari complementari. Fonte: F. Zapata.

- Esercizio 1

Determina i valori degli angoli A e B dalla parte I) della Figura 3.

Soluzione

Dalla figura mostrata si può vedere che A e B sono complementari, quindi A + B = 90º. Sostituiamo l'espressione A e B in funzione di x data nella parte I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

I termini vengono quindi raggruppati in modo appropriato e si ottiene una semplice equazione lineare:

(5x / 2) + 22 = 90

Sottraendo 22 in entrambi i membri abbiamo:

5x / 2 = 90-22 = 68

E infine il valore di x viene cancellato:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Ora l'angolo A si trova sostituendo il valore di X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

Mentre l'angolo B è:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347 / 5a = 69,4º.

- Esercizio 2

Trova i valori degli angoli A e B dell'immagine II, figura 3.

Soluzione

Di nuovo, poiché A e B sono angoli complementari, ne consegue che: A + B = 90º. Sostituendo l'espressione per A e B in funzione di x data nella parte II) della figura 3, abbiamo:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

I termini simili vengono raggruppati per ottenere l'equazione:

6 x + 30 = 90

Dividendo entrambi i membri per 6 ottieni:

x + 5 = 15

Da cui segue che x = 10º.

Così:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Esercizio 3

Determina i valori degli angoli A e B dalla parte III) della Figura 3.

Soluzione

Anche in questo caso la figura viene attentamente analizzata per trovare gli angoli complementari. In questo caso abbiamo che A + B = 90 gradi. Sostituendo l'espressione per A e B in funzione di x data in figura, abbiamo:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Dividendo entrambi i membri per 3 si ottiene quanto segue:

x + 10 = 30

Da cui segue che x = 20º.

In altre parole, l'angolo A = -20 +45 = 25º. E da parte sua: B = 4 * 20-15 = 65º.

Angoli laterali perpendicolari

Si dice che due angoli abbiano lati perpendicolari se ciascun lato ha una corrispondente perpendicolare sull'altro. La figura seguente chiarisce il concetto:

Figura 4. Angoli dei lati perpendicolari. Fonte: F. Zapata.

Nella figura 4 si osservano ad esempio gli angoli α e θ. Notare ora che ogni angolo ha la sua corrispondente perpendicolare all'altro angolo.

Si vede anche che α e θ hanno lo stesso angolo complementare z, quindi l'osservatore conclude immediatamente che α e θ hanno la stessa misura. Sembra quindi che se due angoli hanno lati perpendicolari tra loro, sono uguali, ma vediamo un altro caso.

Consideriamo ora gli angoli α e ω. Questi due angoli hanno anche lati perpendicolari corrispondenti, tuttavia non si può dire che siano di uguale misura, poiché uno è acuto e l'altro è ottuso.

Notare che ω + θ = 180º. Inoltre θ = α. Se sostituisci questa espressione con z nella prima equazione, ottieni:

δ + α = 180º, dove δ e α sono angoli dei lati reciprocamente perpendicolari.

Regola generale per gli angoli dei lati perpendicolari

1. Baldor, JA 1973. Geometria del piano e dello spazio. Centro culturale americano.
2. Leggi e formule matematiche. Sistemi di misura angolari. Estratto da: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Estratto da: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Angoli complementari. Estratto da: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Trasportatore. Estratto da: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: storia, parti, operazione. Estratto da: lifeder.com