OMOSCEDASTICITÀ: COS'È, IMPORTANZA ED ESEMPI - DUDAS - 2026

L' omoscedasticità in un modello statistico predittivo si verifica se tutti i gruppi di dati di una o più osservazioni, il pattern di varianza (o indipendente) rispetto alle variabili esplicative rimangono costanti.

Un modello di regressione può essere omoschedastico o no, nel qual caso si parla di eteroschedasticità.

Figura 1. Cinque set di dati e adattamento di regressione dell'insieme. La varianza rispetto al valore previsto è la stessa in ogni gruppo. (Upav-biblioteca.org)

Un modello di regressione statistica di più variabili indipendenti è chiamato omoschedastico, solo se la varianza dell'errore della variabile prevista (o la deviazione standard della variabile dipendente) rimane uniforme per diversi gruppi di valori delle variabili esplicative o indipendenti.

Nei cinque gruppi di dati della Figura 1, è stata calcolata la varianza in ciascun gruppo, rispetto al valore stimato dalla regressione, risultando essere la stessa in ogni gruppo. Si presume inoltre che i dati seguano la distribuzione normale.

A livello grafico significa che i punti sono ugualmente dispersi o dispersi attorno al valore previsto dall'adattamento di regressione e che il modello di regressione ha lo stesso errore e validità per l'intervallo della variabile esplicativa.

Importanza dell'omoschedasticità

Per illustrare l'importanza dell'omoschedasticità nella statistica predittiva, è necessario contrastare il fenomeno opposto, l'eteroscedasticità.

Omoscedasticità contro eteroschedasticità

Nel caso della figura 1, in cui è presente l'omoschedasticità, è vero che:

Var ((y1-Y1); X1) ≈ Var ((y2-Y2); X2) ≈ …… Var ((y4-Y4); X4)

Dove Var ((yi-Yi); Xi) rappresenta la varianza, la coppia (xi, yi) rappresenta i dati del gruppo i, mentre Yi è il valore previsto dalla regressione per il valore medio Xi del gruppo. La varianza degli n dati del gruppo i viene calcolata come segue:

Var ((yi-Yi); Xi) = ∑j (yij - Yi) ^ 2 / n

Al contrario, quando si verifica l'eteroscedasticità, il modello di regressione potrebbe non essere valido per l'intera regione in cui è stato calcolato. La figura 2 mostra un esempio di questa situazione.

Figura 2. Gruppo di dati che mostrano l'eteroscedasticità. (Elaborazione propria)

La Figura 2 rappresenta tre gruppi di dati e l'adattamento dell'insieme utilizzando una regressione lineare. Va notato che i dati nel secondo e terzo gruppo sono più dispersi rispetto al primo gruppo. Il grafico in figura 2 mostra anche il valore medio di ogni gruppo e la sua barra di errore ± σ, con la deviazione standard σ di ogni gruppo di dati. Va ricordato che la deviazione standard σ è la radice quadrata della varianza.

È chiaro che nel caso dell'eteroscedasticità, l'errore di stima della regressione cambia nell'intervallo di valori della variabile esplicativa o indipendente, e negli intervalli in cui questo errore è molto grande, la previsione della regressione è inaffidabile o non applicabile.

In un modello di regressione gli errori oi residui (e -Y) devono essere distribuiti con uguale varianza (σ ^ 2) nell'intervallo di valori della variabile indipendente. È per questo motivo che un buon modello di regressione (lineare o non lineare) deve superare il test di omoscedasticità.

Test di omoscedasticità

I punti riportati in figura 3 corrispondono ai dati di uno studio che cerca una relazione tra i prezzi (in dollari) delle case in funzione delle dimensioni o della superficie in metri quadrati.

Il primo modello da testare è quello della regressione lineare. Innanzitutto si nota che il coefficiente di determinazione R ^ 2 dell'adattamento è piuttosto alto (91%), quindi si può pensare che l'adattamento sia soddisfacente.

Tuttavia, due regioni possono essere chiaramente distinte dal grafico di aggiustamento. Uno di loro, quello di destra racchiuso in un ovale, soddisfa l'omoschedasticità, mentre la regione di sinistra non ha omoschedasticità.

Ciò significa che la previsione del modello di regressione è adeguata e affidabile nell'intervallo da 1800 m ^ 2 a 4800 m ^ 2 ma molto inadeguata al di fuori di questa regione. Nella zona eteroschedastica, non solo l'errore è molto ampio, ma anche i dati sembrano seguire un andamento diverso da quello proposto dal modello di regressione lineare.

Figura 3. Prezzi delle abitazioni vs area e modello predittivo per regressione lineare, che mostra le zone di omoschedasticità ed eteroschedasticità. (Elaborazione propria)

Il grafico a dispersione dei dati è il test più semplice e visivo della loro omoschedasticità, tuttavia, nelle occasioni in cui non è così evidente come nell'esempio mostrato in figura 3, è necessario ricorrere a grafici con variabili ausiliarie.

Variabili standardizzate

Per separare le aree in cui l'omoschedasticità è soddisfatta e dove non lo è, vengono introdotte le variabili standardizzate ZRes e ZPred:

ZRes = Abs (y - Y) / σ

ZPred = Y / σ

Va notato che queste variabili dipendono dal modello di regressione applicato, poiché Y è il valore della previsione di regressione. Di seguito è riportato il grafico a dispersione ZRes vs ZPred per lo stesso esempio:

Figura 4. Si noti che nella zona di omoschedasticità la ZRes rimane uniforme e piccola nella regione di previsione (Elaborazione propria).

Nel grafico di Figura 4 con le variabili standardizzate, l'area in cui l'errore residuo è piccolo e uniforme è chiaramente separata dall'area in cui non lo è. Nella prima zona l'omoschedasticità è soddisfatta, mentre nella regione in cui l'errore residuo è molto variabile e grande, l'eteroscedasticità è soddisfatta.

L'aggiustamento della regressione è applicato allo stesso gruppo di dati nella figura 3, in questo caso l'aggiustamento è non lineare, poiché il modello utilizzato coinvolge una potenziale funzione. Il risultato è mostrato nella figura seguente:

Figura 5. Nuove zone di omoschedasticità ed eteroschedasticità nell'adattamento dei dati con un modello di regressione non lineare. (Elaborazione propria).

Nel grafico della Figura 5, le aree omoschedastiche ed eteroschedastiche dovrebbero essere chiaramente evidenziate. Va anche notato che queste zone sono state scambiate rispetto a quelle formate nel modello di adattamento lineare.

Nel grafico di Figura 5 è evidente che anche in presenza di un coefficiente di determinazione dell'adattamento abbastanza elevato (93,5%), il modello non è adeguato per l'intero intervallo della variabile esplicativa, poiché i dati per valori maggiore di 2000 m ^ 2 presenta eteroschedasticità.

Test non grafici di omoschedasticità

Uno dei test non grafici più utilizzati per verificare se l'omoschedasticità è soddisfatta o meno è il test di Breusch-Pagan.

Non tutti i dettagli di questo test verranno forniti in questo articolo, ma le sue caratteristiche fondamentali e le fasi dello stesso vengono delineate grossolanamente:

1. Il modello di regressione viene applicato ai dati n e la varianza degli stessi viene calcolata rispetto al valore stimato dal modello σ ^ 2 = ∑j (yj - Y) ^ 2 / n.
2. Una nuova variabile è definita ε = ((yj - Y) ^ 2) / (σ ^ 2)
3. Lo stesso modello di regressione viene applicato alla nuova variabile e vengono calcolati i suoi nuovi parametri di regressione.
4. Si determina il valore critico Chi quadrato (χ ^ 2), che è la metà della somma dei quadrati nuovi residui nella variabile ε.
5. La tabella di distribuzione del Chi quadrato viene utilizzata considerando il livello di significatività (solitamente 5%) e il numero di gradi di libertà (numero di variabili di regressione meno l'unità) sull'asse x della tabella, per ottenere il valore di il bordo.
6. Il valore critico ottenuto nel passaggio 3 viene confrontato con il valore trovato nella tabella (χ ^ 2).
7. Se il valore critico è inferiore a quello della tabella, abbiamo l'ipotesi nulla: c'è l'omoscedasticità
8. Se il valore critico è superiore a quello della tabella, abbiamo l'ipotesi alternativa: non c'è omoschedasticità.

La maggior parte dei pacchetti software statistici come: SPSS, MiniTab, R, Python Pandas, SAS, StatGraphic e molti altri incorporano il test di omoscedasticità Breusch-Pagan. Un altro test per verificare l'uniformità della varianza è il test di Levene.

Riferimenti

1. Scatola, cacciatore e cacciatore. (1988) Statistiche per ricercatori. Ho invertito gli editor.
2. Johnston, J (1989). Metodi econometrici, Vicens -Vives editores.
3. Murillo e González (2000). Manuale di econometria. Università di Las Palmas de Gran Canaria. Recupero da: ulpgc.es.
4. Wikipedia. Omoschedasticità. Estratto da: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Omoschedasticità. Estratto da: en.wikipedia.com