Il gradiente di potenziale è un vettore che rappresenta la velocità di variazione del potenziale elettrico rispetto alla distanza su ciascun asse di un sistema di coordinate cartesiane. Pertanto, il vettore del gradiente di potenziale indica la direzione in cui la velocità di variazione del potenziale elettrico è maggiore, in funzione della distanza.
A sua volta, il modulo del gradiente di potenziale riflette la velocità di variazione della variazione del potenziale elettrico in una particolare direzione. Se il valore di questo è noto in ogni punto di una regione spaziale, il campo elettrico può essere ottenuto dal gradiente di potenziale.
Il campo elettrico è definito come un vettore, quindi ha una direzione e una grandezza specifiche. Determinando la direzione in cui il potenziale elettrico diminuisce più rapidamente - allontanandosi dal punto di riferimento - e dividendo questo valore per la distanza percorsa, si ottiene l'ampiezza del campo elettrico.
caratteristiche
Il gradiente di potenziale è un vettore delimitato da specifiche coordinate spaziali, che misura il rapporto di variazione tra il potenziale elettrico e la distanza percorsa da detto potenziale.
Le caratteristiche più notevoli del gradiente di potenziale elettrico sono descritte di seguito:
1- Il potenziale gradiente è un vettore. Quindi, ha una grandezza e una direzione specifiche.
2- Poiché il gradiente potenziale è un vettore nello spazio, ha grandezze dirette sugli assi X (larghezza), Y (altezza) e Z (profondità), se si prende come riferimento il sistema di coordinate cartesiane.
3- Questo vettore è perpendicolare alla superficie equipotenziale nel punto in cui viene valutato il potenziale elettrico.
4- Il vettore del potenziale gradiente è diretto verso la direzione di massima variazione della funzione del potenziale elettrico in qualsiasi punto.
5- Il modulo del gradiente di potenziale è uguale alla derivata della funzione del potenziale elettrico rispetto alla distanza percorsa in direzione di ciascuno degli assi del sistema di coordinate cartesiane.
6- La pendenza potenziale ha valore zero nei punti stazionari (massimi, minimi e punti di sella).
7- Nel sistema internazionale di unità (SI), le unità di misura del gradiente potenziale sono volt / metri.
8- La direzione del campo elettrico è la stessa in cui il potenziale elettrico diminuisce la sua ampiezza più velocemente. A sua volta, il potenziale gradiente punta nella direzione in cui il potenziale aumenta di valore rispetto a un cambiamento di posizione. Quindi il campo elettrico ha lo stesso valore del gradiente potenziale, ma di segno opposto.
Come calcolarlo?
La differenza di potenziale elettrico tra due punti (punto 1 e punto 2), è data dalla seguente espressione:
Dove:
V1: potenziale elettrico al punto 1.
V2: potenziale elettrico al punto 2.
E: grandezza del campo elettrico.
Ѳ: angolo l'inclinazione del vettore del campo elettrico misurato rispetto al sistema di coordinate.
Quando si esprime questa formula in modo differenziale, quanto segue:
Il fattore E * cos (Ѳ) si riferisce al modulo della componente del campo elettrico in direzione dl. Sia L l'asse orizzontale del piano di riferimento, quindi cos (Ѳ) = 1, in questo modo:
Nel seguito, il quoziente tra la variazione del potenziale elettrico (dV) e la variazione della distanza percorsa (ds) è il modulo del gradiente di potenziale per detta componente.
Da lì ne consegue che l'entità del gradiente di potenziale elettrico è uguale alla componente del campo elettrico nella direzione di studio, ma con segno opposto.
Tuttavia, poiché l'ambiente reale è tridimensionale, il gradiente potenziale in un dato punto deve essere espresso come la somma di tre componenti spaziali sugli assi X, Y e Z del sistema cartesiano.
Scomponendo il vettore del campo elettrico nelle sue tre componenti rettangolari, abbiamo quanto segue:
Se c'è una regione nel piano in cui il potenziale elettrico ha lo stesso valore, la derivata parziale di questo parametro rispetto a ciascuna delle coordinate cartesiane sarà zero.
Pertanto, nei punti che si trovano su superfici equipotenziali, l'intensità del campo elettrico avrà magnitudo zero.
Infine, il vettore del gradiente potenziale può essere definito esattamente come lo stesso vettore del campo elettrico (in grandezza), con segno opposto. Quindi, abbiamo quanto segue:
Esempio
Dai calcoli precedenti è necessario:
Tuttavia, prima di determinare il campo elettrico in funzione del gradiente di potenziale, o viceversa, occorre prima determinare qual è la direzione in cui cresce la differenza di potenziale elettrico.
Successivamente si determina il quoziente tra la variazione del potenziale elettrico e la variazione della distanza netta percorsa.
In questo modo si ottiene l'ampiezza del campo elettrico associato, che è uguale all'ampiezza del gradiente di potenziale in quella coordinata.
Esercizio
Ci sono due piastre parallele, come mostrato nella figura seguente.
Passo 1
La direzione di crescita del campo elettrico è determinata sul sistema di coordinate cartesiane.
Il campo elettrico cresce solo in direzione orizzontale, data la disposizione delle placche parallele. Di conseguenza, è possibile dedurre che le componenti del gradiente potenziale nell'asse Y e nell'asse Z sono zero.
Passo 2
I dati di interesse sono discriminati.
- Differenza potenziale: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.
- Differenza di distanza: dx = 10 centimetri.
Per garantire la congruenza delle unità di misura utilizzate secondo il Sistema Internazionale di Unità, le quantità che non sono espresse in SI devono essere convertite di conseguenza. Quindi, 10 centimetri equivalgono a 0,1 metri e infine: dx = 0,1 m.
Passaggio 3
Calcola la grandezza del potenziale vettore gradiente come appropriato.
Riferimenti
- Elettricità (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. Londra, Regno Unito. Estratto da: britannica.com
- Potenziale gradiente (sf). Università Nazionale Autonoma del Messico. Mexico DF, Messico. Estratto da: professors.dcb.unam.mx
- Interazione elettrica. Estratto da: matematicasypoesia.com.es
- Potenziale gradiente (sf). Estratto da: circuitglobe.com
- Relazione tra potenziale e campo elettrico (sf). Istituto Tecnologico del Costa Rica. Cartago, Costa Rica. Estratto da: repositoriotec.tec.ac.cr
- Wikipedia, The Free Encyclopedia (2018). Pendenza. Estratto da: es.wikipedia.org