FUNZIONE OMOGRAFICA: COME RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE, ESERCIZI RISOLTI - MATEMATICA - 2024

La funzione omografica o razionale ng è un tipo di funzione matematica costituita da due componenti di divisione polinomiale. Obbedisce alla forma P (x) / Q (x), dove Q (x) non può assumere una forma nulla.

Ad esempio l'espressione (2x - 1) / (x + 3) corrisponde a una funzione omografica con P (x) = 2x - 1 e Q (x) = x + 3.

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Le funzioni omografiche costituiscono una sezione di studio delle funzioni analitiche, trattate dall'approccio grafico e dallo studio del dominio e della gamma. Ciò è dovuto alle restrizioni e ai motivi che devono essere applicati per le tue risoluzioni.

Cos'è una funzione omografica?

Sono espressioni razionali di una singola variabile, anche se questo non significa che non ci sia un'espressione simile per due o più variabili, dove sarebbe già in presenza di corpi nello spazio che obbediscono agli stessi schemi della funzione omografica nel piano.

Hanno radici reali in alcuni casi, ma viene sempre mantenuta l'esistenza di asintoti verticali e orizzontali, nonché intervalli di crescita e diminuzione. Comunemente è presente solo una di queste tendenze, ma ci sono espressioni capaci di mostrarle entrambe nel loro sviluppo.

Il suo dominio è limitato dalle radici del denominatore, poiché non esiste una divisione per zero dei numeri reali.

Funzione omografica mista

Sono molto frequenti nel calcolo, soprattutto differenziale e integrale, essendo necessario derivare e anti-derivativo sotto formule particolari. Alcuni dei più comuni sono elencati di seguito.

Anche l'ennesima radice della funzione omografica

Escludi tutti gli elementi del dominio che rendono l'argomento negativo. Le radici presenti in ciascun polinomio producono valori pari a zero quando valutate.

Questi valori sono accettati dal radicale, sebbene debba essere considerata la restrizione fondamentale della funzione omografica. Dove Q (x) non può ricevere valori nulli.

Le soluzioni degli intervalli devono essere intercettate:

Per ottenere la soluzione delle intersezioni, è possibile utilizzare il metodo dei segni, tra gli altri.

Logaritmo della funzione omografica

È anche comune trovare entrambe le espressioni in una, tra le altre possibili combinazioni.

Come rappresentare graficamente una funzione omografica?

Le funzioni omografiche corrispondono graficamente agli iperboli nel piano. Che vengono trasportati orizzontalmente e verticalmente secondo i valori che definiscono i polinomi.

Ci sono diversi elementi che dobbiamo definire per rappresentare graficamente una funzione razionale o omografica.

tenuta

Le prime saranno le radici o gli zeri delle funzioni P e Q.

I valori ottenuti saranno indicati sull'asse x del grafico. Indica le intersezioni del grafico con l'asse.

Asintoto verticale

Corrispondono a linee verticali, che delimitano il grafico in base alle tendenze che presentano. Toccano l'asse x nei valori che rendono zero il denominatore e non saranno mai toccati dal grafico della funzione omografica.

Asintoto orizzontale

Rappresentato da una linea di cucitura orizzontale, delimita un limite per il quale la funzione non sarà definita nel punto esatto. Le tendenze saranno osservate prima e dopo questa linea.

Per calcolarlo dobbiamo ricorrere a un metodo simile al metodo L'Hopital, utilizzato per risolvere i limiti delle funzioni razionali che tendono all'infinito. Dobbiamo prendere i coefficienti delle potenze più alte al numeratore e denominatore della funzione.

Ad esempio, la seguente espressione ha un asintoto orizzontale in y = 2/1 = 2.

Intervallo di crescita

I valori delle ordinate avranno andamenti segnati sul grafico a causa degli asintoti. In caso di crescita, la funzione aumenterà di valori man mano che gli elementi del dominio vengono valutati da sinistra a destra.

Diminuire l'intervallo

I valori delle ordinate diminuiranno man mano che gli elementi del dominio vengono valutati da sinistra a destra.

I salti riscontrati nei valori non verranno presi in considerazione al crescere o diminuire. Ciò si verifica quando il grafico è vicino a un asintoto verticale o orizzontale, dove i valori possono variare da infinito a infinito negativo e viceversa.

Intersezione Y

Impostando il valore di x a zero, troviamo l'intercetta con l'asse delle ordinate. Questo è un dato molto utile per ottenere il grafico della funzione razionale.

Esempi

Definisci il grafico delle seguenti espressioni, trova le loro radici, asintoti verticali e orizzontali, intervalli di aumento e diminuzione e intersezione con l'asse delle ordinate.

Esercizio 1

L'espressione non ha radici, perché ha un valore costante al numeratore. La restrizione da applicare sarà x diversa da zero. Con asintoto orizzontale in y = 0 e asintoto verticale in x = 0. Non ci sono punti di intersezione con l'asse y.

Si osserva che non ci sono intervalli di crescita anche con il salto da meno a più infinito in x = 0.

L'intervallo di diminuzione è

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Esercizio 1.2

Si osservano 2 polinomi come nella definizione iniziale, quindi si procede secondo i passaggi stabiliti.

La radice trovata è x = 7/2, che risulta dall'impostazione della funzione uguale a zero.

L'asintoto verticale è in x = - 4, che è il valore escluso dal dominio dalla condizione della funzione razionale.

L'asintoto orizzontale è in y = 2, questo dopo aver diviso 2/1, i coefficienti delle variabili di grado 1.

Ha un'intercetta y = - 7/4. Valore trovato dopo aver equiparato x a zero.

La funzione è in costante crescita, con un salto da più a meno infinito attorno alla radice x = -4.

Il suo intervallo di crescita è (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Quando il valore di x si avvicina a meno infinito, la funzione assume valori prossimi a 2. Lo stesso accade quando x si avvicina a più infinito.

L'espressione si avvicina a più infinito quando si valuta a - 4 da sinistra ea meno infinito quando si valuta a - 4 da destra.

Esercizio 2

Si osserva il grafico della seguente funzione omografica:

Descrivi il suo comportamento, radici, asintoti verticali e orizzontali, intervalli di crescita e diminuzione e intersezione con l'asse delle ordinate.

Il denominatore dell'espressione ci dice fattorizzando la differenza dei quadrati (x + 1) (x - 1) i valori delle radici. In questo modo, entrambi gli asintoti verticali possono essere definiti come:

x = -1 e x = 1

L'asintoto orizzontale corrisponde all'asse delle ascisse perché la potenza massima è nel denominatore.

La sua unica radice è definita da x = -1/3.

L'espressione diminuisce sempre da sinistra a destra. Si avvicina allo zero quando si avvicina all'infinito. Meno infinito quando ti avvicini a -1 da sinistra. Un più infinito quando si avvicina a -1 da destra. Meno infinito quando ci si avvicina a 1 da sinistra e più infinito quando ci si avvicina a 1 da destra.

Riferimenti

1. Approssimazione con funzioni razionali. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31 dicembre. 1979
2. Funzioni razionali ortogonali. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13 febbraio. 1999
3. Approssimazione razionale delle funzioni reali. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 marzo. 2011
4. Funzioni algebriche. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1 gennaio 2004
5. Journal of the Spanish Mathematical Society, Volumes 5-6. Società matematica spagnola, Madrid 1916