ESPERIMENTO CASUALE: CONCETTO, SPAZIO CAMPIONARIO, ESEMPI - DUDAS - 2025

Si parla di esperimento casuale quando il risultato di ogni particolare prova è imprevedibile, anche se è possibile stabilire la probabilità che si verifichi un determinato risultato.

Tuttavia, è opportuno chiarire che non è possibile riprodurre lo stesso risultato di un sistema casuale con gli stessi parametri e le stesse condizioni iniziali in ciascuna prova dell'esperimento.

Figura 1. Il lancio dei dadi è un esperimento casuale. Fonte: Pixabay.

Un buon esempio di esperimento casuale è il lancio di un dado. Anche se si prende cura di tirare il dado nello stesso modo, ogni tentativo produrrà un risultato imprevedibile. In realtà, l'unica cosa che si può dire è che il risultato può essere uno dei seguenti: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

Lanciare una moneta è un altro esempio di un esperimento casuale con solo due possibili risultati: testa o croce. Sebbene la moneta venga lanciata dalla stessa altezza e nello stesso modo, il fattore di probabilità sarà sempre presente, con conseguente incertezza ad ogni nuovo tentativo.

L'opposto di un esperimento casuale è un esperimento deterministico. Ad esempio, è noto che ogni volta che l'acqua viene bollita a livello del mare, la temperatura di ebollizione è di 100ºC. Ma non succede mai che, mantenendo le stesse condizioni, il risultato sia a volte 90 ºC, altre 12 0ºC e talvolta 100 ºC.

Spazio campione

L'insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale è chiamato spazio campionario. Nell'esperimento casuale del lancio di un dado, lo spazio campionario è:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

D'altra parte, nel lancio di una moneta lo spazio campione è:

M = {testa, croce}.

Evento o evento

In un esperimento casuale, un evento è il verificarsi o meno di un determinato risultato. Ad esempio, nel caso di un lancio di una moneta, un evento o un evento è che esce testa.

Un altro evento in un esperimento casuale potrebbe essere il seguente: che un numero inferiore o uguale a tre viene lanciato su un dado.

Nel caso in cui si verifichi l'evento, l'insieme dei possibili risultati è l'insieme:

E = {1, 2, 3}

A sua volta, questo è un sottoinsieme dello spazio campione o dell'insieme:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Esempi

Di seguito sono riportati alcuni esempi che illustrano quanto sopra:

Esempio 1

Supponiamo che vengano lanciate due monete, una dopo l'altra. Chiede:

a) Indicare se si tratta di un esperimento casuale o, al contrario, di un esperimento deterministico.

b) Qual è lo spazio campionario S di questo esperimento?

c) Indicare l'insieme dell'evento A, corrispondente al risultato dell'esperimento che è testa e croce.

d) Calcola la probabilità che si verifichi l'evento A.

e) Infine, trova la probabilità che si verifichi l'evento B: nessuna testa appare nel risultato.

Soluzione

Una borsa contiene 10 biglie bianche e 10 biglie nere. Tre biglie consecutivamente vengono estratte dalla borsa a caso e senza guardare all'interno.

a) Determina lo spazio campionario per questo esperimento casuale.

b) Determinare l'insieme di risultati corrispondente all'evento A, che consiste nell'avere due biglie nere dopo l'esperimento.

c) L'evento B consiste nell'ottenere almeno due biglie nere, determinare l'insieme B dei risultati per questo evento.

d) Qual è la probabilità che si verifichi l'evento A?

e) Trova la probabilità che si verifichi l'evento B.

f) Determina la probabilità che il risultato dell'esperimento casuale sia di avere almeno una biglia nera. Questo evento si chiamerà C.

Figura 2. Biglie bianche e nere per esperimenti casuali. Fonte: Needpix.

Soluzione a

Per costruire lo spazio campionario, è utile creare un diagramma ad albero, come quello mostrato in Figura 3:

Figura 3. Diagramma ad albero per esempio 2. Preparato da Fanny Zapata.

L'insieme Ω dei possibili risultati dell'estrazione di tre biglie da un sacchetto con lo stesso numero di biglie bianche e nere, è precisamente lo spazio campionario di questo esperimento casuale.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)}

Soluzione b

L'insieme dei possibili esiti corrispondenti all'evento A, che consiste nell'avere due biglie nere è:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

Soluzione c

L'evento B è definito come: "avere almeno due biglie nere dopo averne estratte tre a caso". L'insieme dei possibili risultati per l'evento B è:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Soluzione d

La probabilità di avere l'evento A è il quoziente tra il numero di possibili risultati per questo evento e il numero totale di possibili risultati, ovvero il numero di elementi nello spazio campionario.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Quindi c'è una probabilità del 37,5% di avere due biglie nere dopo aver estratto casualmente tre biglie dalla borsa. Ma nota che non possiamo in alcun modo prevedere l'esatto risultato dell'esperimento.

Soluzione e

La probabilità che si verifichi l'evento B, consistente nell'ottenere almeno una biglia nera è:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

Ciò significa che la possibilità che l'evento B si verifichi è uguale alla probabilità che non si verifichi.

Soluzione f

La probabilità di ottenere almeno una biglia nera, dopo averne estratte tre, è uguale a 1 meno la probabilità che il risultato sia "le tre biglie bianche".

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Ora, possiamo controllare questo risultato, notando che il numero di possibilità in cui si verifica l'evento C è uguale al numero di elementi dei possibili risultati per l'evento C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)}

n (C) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Riferimenti

1. CanalPhi. Esperimento casuale. Estratto da: youtube.com.
2. MateMovil. Esperimento casuale. Estratto da: youtube.com
3. Pishro Nick H. Introduzione alla probabilità. Estratto da: probabilitàcourse.com
4. Ross. Probabilità e statistica per gli ingegneri. Mc-Graw Hill.
5. Wikipedia. Esperimento (teoria della probabilità). Estratto da: en.wikipedia.com
6. Wikipedia. Evento deterministico. Estratto da: es. wikipedia.com
7. Wikipedia. Esperimento casuale. Estratto da: es.wikipedia.com