EVENTI INDIPENDENTI: DIMOSTRAZIONI, ESEMPI, ESERCIZI - DUDAS - 2026

Due eventi sono indipendenti , quando la probabilità che uno di essi si verifichi non è influenzata dal fatto che l'altro si verifichi -o non si verifichi-, considerando che questi eventi si verificano casualmente.

Questa circostanza si verifica ogniqualvolta il processo che genera il risultato dell'evento 1, non altera in alcun modo la probabilità dei possibili risultati dell'evento 2. Ma se ciò non avviene, gli eventi si dicono dipendenti.

Figura 1. Le biglie colorate sono spesso utilizzate per spiegare la probabilità di eventi indipendenti. Fonte: Pixabay.

Una situazione di evento indipendente è la seguente: supponiamo che vengano lanciati due dadi a sei facce, uno blu e l'altro rosa. La probabilità che un 1 tiri sul dado blu è indipendente dalla probabilità che un 1 tiri o non tiri sul dado rosa.

Un altro caso di due eventi indipendenti è quello del lancio di una moneta due volte di seguito. Il risultato del primo lancio non dipenderà dal risultato del secondo e viceversa.

Prova di due eventi indipendenti

Per verificare che due eventi siano indipendenti, definiremo il concetto di probabilità condizionata di un evento rispetto a un altro. Per questo, è necessario distinguere tra eventi esclusivi ed eventi inclusivi:

Due eventi sono esclusivi se i possibili valori o elementi dell'evento A non hanno nulla in comune con i valori o gli elementi dell'evento B.

Pertanto in due eventi esclusivi, l'insieme dell'intersezione di A con B è il vuoto:

Esclusi eventi: A∩B = Ø

Al contrario, se gli eventi sono inclusivi, può accadere che un risultato dell'evento A coincida anche con quello di un altro B, essendo A e B eventi diversi. In questo caso:

Eventi inclusi: A∩B ≠ Ø

Questo ci porta a definire la probabilità condizionata di due eventi inclusivi, in altre parole, la probabilità di accadimento dell'evento A, ogni volta che si verifica l'evento B:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Pertanto, la probabilità condizionata è la probabilità che si verifichino A e B divisa per la probabilità che si verifichi B. La probabilità che si verifichi B condizionata ad A può anche essere definita:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Criteri per sapere se due eventi sono indipendenti

Successivamente forniremo tre criteri per sapere se due eventi sono indipendenti. È sufficiente che uno dei tre sia soddisfatto, in modo che sia dimostrata l'indipendenza degli eventi.

1.- Se la probabilità che A si verifichi ogni volta che si verifica B è uguale alla probabilità di A, allora sono eventi indipendenti:

P (A¦B) = P (A) => A è indipendente da B

2.- Se la probabilità che B si verifichi dato A, è uguale alla probabilità di B, allora ci sono eventi indipendenti:

P (B¦A) = P (B) => B è indipendente da A

3.- Se la probabilità che si verifichi A e B è uguale al prodotto della probabilità che si verifichi A e la probabilità che si verifichi B, allora sono eventi indipendenti. È vero anche il contrario.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A e B sono eventi indipendenti.

Esempi di eventi indipendenti

Vengono confrontate le suole in gomma prodotte da due diversi fornitori. I campioni di ciascun produttore vengono sottoposti a diversi test dai quali si conclude se rientrano o meno nelle specifiche.

Figura 2. Varietà di suole in gomma. Fonte: Pixabay.

Il riepilogo risultante dei 252 campioni è il seguente:

Produttore 1; 160 soddisfano le specifiche; 8 non soddisfano le specifiche.

Produttore 2; 80 soddisfano le specifiche; 4 non soddisfano le specifiche.

Evento A: "che il campione proviene dal produttore 1".

Evento B: "che il campione soddisfi le specifiche".

Vogliamo sapere se questi eventi A e B sono indipendenti o meno, per i quali applichiamo uno dei tre criteri citati nella sezione precedente.

Criterio: P (B¦A) = P (B) => B è indipendente da A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Conclusione: gli eventi A e B sono indipendenti.

Supponiamo che l'evento C: "che il campione provenga dal produttore 2"

L'evento B sarà indipendente dall'evento C?

Applichiamo uno dei criteri.

Criterio: P (B¦C) = P (B) => B è indipendente da C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Pertanto, sulla base dei dati disponibili, la probabilità che una suola in gomma scelta a caso soddisfi le specifiche è indipendente dal produttore.

Converti un evento indipendente in un evento dipendente

Diamo un'occhiata al seguente esempio per distinguere tra eventi dipendenti e indipendenti.

Abbiamo una busta con due palline di cioccolato bianco e due palline nere. La probabilità di ottenere una palla bianca o una palla nera è uguale al primo tentativo.

Supponiamo che il risultato sia stato un pallino. Se la palla estratta viene riposta nel sacco, si ripete la situazione originale: due palle bianche e due palle nere.

Quindi, in un secondo evento o pareggio, le possibilità di pescare una bilia battente o una bilia nera sono identiche alla prima volta. Sono quindi eventi indipendenti.

Ma se la bilia estratta nel primo evento non viene sostituita perché l'abbiamo mangiata, nel secondo sorteggio ci sono maggiori possibilità di estrarre una bilia nera. La probabilità che una seconda estrazione ottenga nuovamente il bianco è diversa da quella del primo evento ed è condizionata dal risultato precedente.

esercizi

- Esercizio 1

In una scatola mettiamo le 10 biglie di figura 1, di cui 2 verdi, 4 blu e 4 bianche. Verranno scelte due biglie a caso, una prima e una dopo. Si chiede di trovare la
probabilità che nessuno di loro sia blu, nelle seguenti condizioni:

a) Con sostituzione, cioè rimettendo nella scatola la prima biglia prima della seconda selezione. Indicare se sono eventi indipendenti o dipendenti.

b) Senza sostituzione, in modo tale che la prima biglia estratta sia lasciata fuori dalla scatola al momento della seconda selezione. Allo stesso modo, indica se sono eventi dipendenti o indipendenti.

Soluzione a

Calcoliamo la probabilità che la prima biglia estratta non sia blu, che è 1 meno la probabilità che sia blu P (A), o direttamente che non sia blu, perché ne è uscita verde o bianca:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (non essere blu) = 1 - (2/5) = 3/5

Oh bene:

P (verde o bianco) = 6/10 = 3/5.

Se viene restituito il marmo estratto, tutto è come prima. In questa seconda estrazione c'è anche una probabilità 3/5 che la biglia estratta non sia blu.

P (non blu, non blu) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Gli eventi sono indipendenti, poiché il marmo estratto è stato rimesso nella scatola e il primo evento non influenza la probabilità di accadimento del secondo.

Soluzione b

Per la prima estrazione procedere come nella sezione precedente. La probabilità che non sia blu è 3/5.

Per la seconda estrazione abbiamo 9 biglie nella borsa, poiché la prima non è tornata, ma non era blu, quindi nella borsa ci sono 9 biglie e 5 non blu:

P (verde o bianco) = 5/9.

P (nessuno è blu) = P (primo non blu). P (secondo non blu / primo non blu) = (3/5). (5/9) = 1/3

In questo caso non sono eventi indipendenti, poiché il primo evento condiziona il secondo.

- Esercizio 2

Un negozio ha 15 camicie in tre taglie: 3 piccole, 6 medie e 6 grandi. 2 magliette vengono selezionate casualmente.

a) Qual è la probabilità che entrambe le maglie selezionate siano piccole, se una viene presa per prima e senza sostituirne un'altra nel lotto?

b) Qual è la probabilità che entrambe le maglie selezionate siano piccole, se una viene estratta per prima, viene sostituita nel lotto e la seconda viene rimossa?

Soluzione a

Ecco due eventi:

Evento A: la prima maglia selezionata è piccola

Evento B: la seconda maglia selezionata è piccola

La probabilità che si verifichi l'evento A è: P (A) = 3/15

La probabilità che si verifichi l'evento B è: P (B) = 2/14, perché una maglia era già stata tolta (ne sono rimaste 14), ma anche l'evento A vuole essere soddisfatto, la prima maglia rimossa deve essere piccola e quindi entrambi sono 2 piccoli.

Cioè, la probabilità che A e B siano il prodotto delle probabilità è:

P (A e B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Pertanto, la probabilità che si verifichi l'evento A e B è uguale al prodotto che si verifica l'evento A, moltiplicata per la probabilità che si verifichi l'evento B se l'evento A.

Si dovrebbe notare che:

P (B¦A) = 2/14

La probabilità che l'evento B si verifichi indipendentemente dal fatto che si verifichi o meno l'evento A sarà:

P (B) = (2/14) se il primo era piccolo, o P (B) = 3/14 se il primo non era piccolo.

In generale, si può concludere quanto segue:

P (B¦A) non è uguale a P (B) => B non è indipendente da A

Soluzione b

Anche in questo caso ci sono due eventi:

Evento A: la prima maglia selezionata è piccola

Evento B: la seconda maglia selezionata è piccola

P (A) = 3/15

Ricorda che qualunque sia il risultato, la maglia estratta dal lotto viene sostituita e di nuovo una maglia viene estratta a caso. La probabilità che si verifichi l'evento B, se si è verificato l'evento A è:

P (B¦A) = 3/15

La probabilità che si verifichino gli eventi A e B sarà:

P (A e B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Nota che:

P (B¦A) è uguale a P (B) => B è indipendente da A.

- Esercizio 3

Considera due eventi indipendenti A e B. È noto che la probabilità che si verifichi l'evento A è 0,2 e la probabilità che si verifichi l'evento B è 0,3. Qual è la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi?

Soluzione 2

Sapendo che gli eventi sono indipendenti, è noto che la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi è il prodotto delle probabilità individuali. Vale a dire,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Nota che è una probabilità molto inferiore alla probabilità che ogni evento si verifichi indipendentemente dall'esito dell'altro. O in altre parole, molto inferiore alle probabilità individuali.

Riferimenti

1. Berenson, M. 1985. Statistiche per la gestione e l'economia. Interamericana SA 126-127.
2. Istituto Monterrey. Probabilità di eventi indipendenti. Estratto da: monterreyinstitute.org
3. Insegnante di matematica. Eventi indipendenti. Estratto da: youtube.com
4. Superprof. Tipi di eventi, eventi dipendenti. Recupero da: superprof.es
5. Tutor virtuale. Probabilità. Estratto da: vitutor.net
6. Wikipedia. Indipendenza (probabilità). Estratto da: wikipedia.com