ASPETTATIVA MATEMATICA: FORMULA, PROPRIETÀ, ESEMPI, ESERCIZIO - DUDAS - 2025

L' aspettativa matematica o valore atteso della variabile casuale X, è indicata come E (X) ed è definita come la somma del prodotto tra la probabilità che si verifichi un evento casuale e il valore di detto evento.

In forma matematica si esprime come segue:

Figura 1. L'aspettativa matematica è ampiamente utilizzata nel mercato azionario e nelle assicurazioni. Fonte: Pixabay.

Dove x _i è il valore dell'evento e P (x _i ) la sua probabilità di accadimento. La somma si estende su tutti i valori che X ammette e se questi sono finiti, la somma indicata converge al valore E (X), ma se la somma non converge, la variabile semplicemente non ha valore atteso.

Quando è una variabile continua x, la variabile può avere valori infiniti e gli integrali sostituiscono le sommatorie:

Qui f (x) rappresenta la funzione di densità di probabilità.

In generale, l'aspettativa matematica (che è una media ponderata) non è uguale alla media o alla media aritmetica, a meno che non si tratti di distribuzioni discrete in cui ogni evento è ugualmente probabile. Quindi, e solo allora:

Dove n è il numero di valori possibili.

Il concetto è molto utile nei mercati finanziari e nelle compagnie di assicurazione, dove spesso mancano le certezze ma esistono le probabilità.

Proprietà dell'aspettativa matematica

Tra le proprietà più importanti dell'aspettativa matematica, spiccano le seguenti:

- Segno: se X è positivo, anche E (X) sarà positivo.

- Valore atteso di una costante : il valore atteso di una costante reale k è la costante.

- Linearità nella somma: l'aspettativa di una variabile aleatoria che a sua volta è la somma di due variabili X e Y è la somma delle aspettative.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Moltiplicazione per una costante : se la variabile casuale è della forma kX, dove k è una costante (un numero reale), esce fuori dal valore atteso.

- Valore atteso del prodotto e indipendenza tra variabili : se una variabile casuale è il prodotto delle variabili casuali X e Y, che sono indipendenti, il valore atteso del prodotto è il prodotto dei valori attesi.

In generale, se Y = g (X):

- Ordine in valore atteso: se X ≤ Y, allora:

Poiché ci sono i valori attesi di ciascuno di essi.

L'aspettativa matematica nelle scommesse

Quando il famoso astronomo Christian Huygens (1629-1695) non osservava i cieli, si dedicò allo studio, tra le altre discipline, della probabilità nei giochi d'azzardo. Fu lui a introdurre il concetto di speranza matematica nella sua opera del 1656 intitolata: Ragionare sui giochi d'azzardo.

Figura 2. Christiaan Huygens (1629-1625) era uno scienziato brillante e versatile, a cui dobbiamo il concetto di valore atteso.

Huygens ha scoperto che le scommesse potevano essere classificate in tre modi, in base al valore atteso:

-Giochi con vantaggio: E (X)> 0

- Scommesse corrette: E (X) = 0

-Gioco in svantaggio: E (X) <0

Il problema è che in un gioco d'azzardo l'aspettativa matematica non è sempre facile da calcolare. E quando puoi, il risultato a volte è deludente per chi si chiede se scommettere o meno.

Proviamo una scommessa semplice: testa o croce e il perdente paga 1 $ di caffè. Qual è il valore atteso di questa scommessa?

Ebbene, la probabilità che una testa venga tirata è ½, uguale a una croce. La variabile casuale è guadagnare $ 1 o perdere $ 1, il guadagno è indicato dal segno + e la perdita dal segno -.

Organizziamo le informazioni in una tabella:

Moltiplichiamo i valori delle colonne: 1. ½ = ½ e (-1). ½ = -½ e infine vengono aggiunti i risultati. La somma è 0 ed è un gioco leale, in cui i partecipanti non devono né vincere né perdere.

La roulette francese e la lotteria sono giochi con handicap in cui la maggior parte degli scommettitori perde. Successivamente c'è una scommessa leggermente più complessa nella sezione degli esercizi risolti.

Esempi

Ecco alcuni semplici esempi in cui il concetto di aspettativa matematica è intuitivo e chiarisce il concetto:

Esempio 1

Inizieremo tirando un dado onesto. Qual è il valore atteso del lancio? Bene, se il dado è onesto e ha 6 teste, la probabilità che un qualsiasi valore (X = 1, 2, 3… 6) tiri è 1/6, come questo:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Figura 3. Nel tiro di un dado onesto, il valore atteso non è un valore possibile. Fonte: Pixabay.

Il valore atteso in questo caso è uguale alla media, poiché ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire. Ma E (X) non è un valore possibile, poiché nessuna testa vale 3.5. Questo è perfettamente possibile in alcune distribuzioni, anche se in questo caso il risultato non aiuta molto lo scommettitore.

Diamo un'occhiata a un altro esempio con il lancio di due monete.

Esempio 2

Due monete oneste vengono lanciate in aria e definiamo la variabile casuale X come il numero di teste che vengono lanciate. Gli eventi che possono verificarsi sono i seguenti:

-Nessuna testa esce: 0 teste che è uguale a 2 croci.

-Esiste 1 testa e 1 timbro o croce.

-Due facce escono.

Sia C una testa e T un sigillo, lo spazio campionario che descrive questi eventi è il seguente:

S _m = {Sigillo-Sigillo; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Le probabilità che gli eventi accadano sono:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

La tabella è costruita con i valori ottenuti:

Secondo la definizione data all'inizio, l'aspettativa matematica è calcolata come:

Valori sostitutivi:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Questo risultato viene interpretato come segue: se una persona ha abbastanza tempo per fare un gran numero di esperimenti lanciando le due monete, ci si aspetta che ottenga una testa a ogni lancio.

Tuttavia, sappiamo che le pubblicazioni con 2 etichette sono perfettamente possibili.

Esercizio risolto

Nel lancio di due monete oneste, viene fatta la seguente scommessa: se escono 2 teste vinci $ 3, se esce 1 testa vinci $ 1, ma se escono due francobolli devi pagare $ 5. Calcola la vincita prevista della scommessa.

Figura 4. A seconda della scommessa, l'aspettativa matematica cambia quando si lanciano due monete oneste. Fonte: Pixabay.

Soluzione

La variabile casuale X è i valori che il denaro prende nella scommessa e le probabilità sono state calcolate nell'esempio precedente, quindi la tabella della scommessa è:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Poiché il valore atteso è 0, questo è un gioco corretto, quindi qui ci si aspetta che lo scommettitore non vinca e non perda neanche. Tuttavia, gli importi della scommessa possono essere modificati per rendere la scommessa un gioco con handicap o un gioco con handicap.

Riferimenti

1. Brase, C. 2009. Statistiche comprensibili. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Introduzione al concetto di valore atteso o aspettativa matematica di una variabile casuale. Recupero da: personal.us.es.
3. Statistiche LibreTexts. Valore atteso di variabili casuali discrete. Recupero da: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Statistiche elementari. 11 °. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Probabilità e statistica per la scienza e l'ingegneria. 8 °. Edizione. Pearson Education.