COSTANTE DI BOLTZMANN: STORIA, EQUAZIONI, CALCOLO, ESERCIZI - FISICO - 2024

La costante di Boltzmann è il valore che mette in relazione l'energia cinetica media di un sistema termodinamico o di un oggetto con la temperatura assoluta dello stesso. Sebbene siano spesso confusi, temperatura ed energia non sono lo stesso concetto.

La temperatura è una misura dell'energia, ma non l'energia stessa. Con la costante di Boltzmann sono collegati tra loro nel modo seguente:

La lapide di Boltzmann a Vienna. Fonte: Daderot su Wikipedia in inglese

Questa equazione è valida per una molecola di gas ideale monoatomico di massa m, dove E _c è la sua energia cinetica espressa in Joule, k _B è la costante di Boltzmann e T è la temperatura assoluta in Kelvin.

In questo modo, all'aumentare della temperatura, aumenta anche l'energia cinetica media per molecola di sostanza, come previsto. E il contrario accade quando la temperatura diminuisce, potendo raggiungere il punto in cui se tutto il movimento si ferma, si raggiunge la temperatura più bassa possibile o lo zero assoluto.

Quando si parla di energia cinetica media, è necessario ricordare che l'energia cinetica è associata al movimento. E le particelle possono muoversi in molti modi, come muoversi, ruotare o vibrare. Naturalmente, non lo faranno tutti allo stesso modo, e poiché sono innumerevoli, viene presa la media per caratterizzare il sistema.

Alcuni stati energetici sono più probabili di altri. Questo concetto è di fondamentale importanza nella termodinamica. L'energia considerata nell'equazione precedente è l'energia cinetica traslazionale. La probabilità degli stati e la sua relazione con la costante di Boltzmann verrà discussa più avanti.

Nel 2018 Kelvin stato ridefinito e con essa la costante di Boltzmann, che nel Sistema Internazionale è approssimativamente 1,380,649 mila x 10 ^-23 J. K ^-1 . È possibile ottenere una precisione molto maggiore per la costante di Boltzmann, che è stata determinata in numerosi laboratori in tutto il mondo, con metodi diversi.

Storia

La famosa costante deve il suo nome al fisico viennese Ludwig Boltzmann (1844–1906), che dedicò la sua vita di scienziato allo studio del comportamento statistico di sistemi con molte particelle, dal punto di vista della meccanica newtoniana.

Sebbene oggi l'esistenza dell'atomo sia universalmente accettata, nel 19 ° secolo la convinzione se l'atomo esistesse davvero o fosse un artificio con cui venivano spiegati molti fenomeni fisici era in pieno dibattito.

Boltzmann era un convinto difensore dell'esistenza dell'atomo e ai suoi tempi dovette affrontare dure critiche del suo lavoro da parte di molti colleghi, che lo consideravano contenere paradossi insolubili.

Ha affermato che i fenomeni osservabili a livelli macroscopici potrebbero essere spiegati dalle proprietà statistiche delle particelle costituenti come atomi e molecole.

Può essere che queste critiche fossero dovute al profondo episodio di depressione che lo portò a togliersi la vita all'inizio di settembre 1906, quando aveva ancora molto da fare, visto che era considerato uno dei grandi fisici teorici del suo tempo e gli restava ben poco da fare. che altri scienziati contribuiscono a corroborare la veridicità delle loro teorie.

Non passò molto tempo dopo la sua morte che nuove scoperte sulla natura dell'atomo e delle sue particelle costituenti si aggiunsero per dimostrare che Boltzmann aveva ragione.

La costante di Boltzmann e le opere di Planck

Ora la costante di Boltzmann k _{B è} stata introdotta come è conosciuta oggi qualche tempo dopo il lavoro del fisico austriaco. Fu Max Planck, nella sua legge dell'emissione del corpo nero, opera che presentò nel 1901, che a quel tempo le diede il valore di 1,34 x 10 ⁻²³ J / K.

Intorno al 1933 una targa con la definizione di entropia che coinvolge la famosa costante fu aggiunta alla lapide di Boltzmann a Vienna come tributo postumo, che coinvolge la famosa costante: S = k _B log W, un'equazione che verrà discussa più avanti.

Oggi la costante di Boltzmann è indispensabile nell'applicazione delle leggi della termodinamica, della meccanica statistica e della teoria dell'informazione, campi di cui questo triste fisico è stato un pioniere.

Valore ed equazioni

I gas possono essere descritti in termini macroscopici e anche in termini microscopici. Per la prima descrizione ci sono concetti come densità, temperatura e pressione.

Tuttavia, va ricordato che un gas è composto da molte particelle, che hanno una tendenza globale a un certo comportamento. È questa tendenza che viene misurata macroscopicamente. Un modo per determinare la costante di Boltzmann è grazie alla ben nota equazione dei gas ideali:

Qui p è la pressione del gas, V è il suo volume, n è il numero di moli presenti, R è la costante del gas e T è la temperatura. In una mole di gas ideale, la seguente relazione è soddisfatta tra il prodotto pV e l'energia cinetica traslazionale K dell'intero insieme è:

Quindi l'energia cinetica è:

Dividendo per il numero totale di molecole presenti, che si chiamerà N, si ottiene l'energia cinetica media di una singola particella:

In una mole c'è il numero di particelle di Avogadro N _A , e quindi il numero totale di particelle è N = nN A, lasciando:

Proprio il quoziente R / N _A è la costante di Boltzmann, dimostrando così che l'energia cinetica traslazionale media di una particella dipende solo dalla temperatura assoluta T e non da altre grandezze come la pressione, il volume o anche il tipo di molecola:

Costante ed entropia di Boltzmann

Un gas ha una data temperatura, ma quella temperatura può corrispondere a diversi stati di energia interna. Come visualizzare questa differenza?

Considera il lancio simultaneo di 4 monete e il modo in cui possono cadere:

Modi in cui 4 possono rilasciare 4 monete. Fonte: autocostruito

Il set di monete può assumere un totale di 5 stati, considerati macroscopici, descritti in figura. Quale di questi stati direbbe il lettore è il più probabile?

La risposta dovrebbe essere lo stato di 2 teste e 2 croci, perché hai un totale di 6 possibilità, sulle 16 illustrate in figura. Y 2 ⁴ = 16. Questi sono uguali agli stati microscopici.

Cosa succede se vengono lanciate 20 monete invece di 4? Ci sarebbe un totale di 2 ²⁰ possibilità o "stati microscopici". È un numero molto più grande e più difficile da gestire. Per facilitare la gestione di grandi numeri, i logaritmi sono molto appropriati.

Quello che sembra evidente è che lo stato con il disordine maggiore è il più probabile. Stati più ordinati come 4 teste o 4 sigilli sono leggermente meno probabili.

L'entropia di uno stato macroscopico S è definita come:

Dove w è il numero di possibili stati microscopici del sistema e k _B è la costante di Boltzmann. Poiché ln w è adimensionale, l'entropia ha le stesse unità di k _B : Joule / K.

Questa è la famosa equazione sulla lapide di Boltzmann a Vienna. Tuttavia, più che l'entropia, ciò che è rilevante è il suo cambiamento:

Come calcoli k

Il valore della costante di Boltzmann è ottenuto sperimentalmente in modo estremamente preciso con misure basate sulla termometria acustica, che vengono effettuate utilizzando la proprietà che stabilisce la dipendenza della velocità del suono in un gas dalla sua temperatura.

Infatti, la velocità del suono in un gas è data da:

B _adiabatico = γp

E ρ è la densità del gas. Per l'equazione sopra, p è la pressione del gas in questione e γ è il coefficiente adiabatico, il cui valore per un dato gas si trova nelle tabelle.

Gli istituti di metrologia stanno anche sperimentando altri modi per misurare la costante, come la Johnson Noise Thermometry, che utilizza fluttuazioni termiche casuali nei materiali, in particolare nei conduttori.

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Trova:

a) L'energia cinetica traslazionale media E _c che una molecola di gas ideale ha a 25 ºC

b) L'energia cinetica traslazionale K delle molecole in 1 mole di questo gas

c) La velocità media di una molecola di ossigeno a 25 ºC

Fatto

m _ossigeno = 16 x ^10-3 kg / mol

Soluzione

a) E _c = (3/2) k T = 1,5 x 1,380,649 mila x 10 ^-23 J. K ^-1 x 298 K = 6,2 x 10 ^-21 J

b) K = (3/2) nRT = 5 x 1 mol x 8,314 J / mol. K x 298 K = 3716 J

c) E _c = ½ mv ² , tenendo conto che la molecola di ossigeno è biatomica e la massa molare va moltiplicata per 2, avremo:

Trova la variazione di entropia quando 1 mole di gas che occupa un volume di 0,5 m ^{3 si} espande fino a occupare 1 m ³ .

Soluzione

ΔS = k _B ln (w ₂ / w ₁ )

Riferimenti

1. Atkins, P. 1999. Chimica fisica. Edizioni Omega. 13-47.
2. Bauer, W. 2011. Fisica per l'ingegneria e le scienze. Volume 1. Mc Graw Hill. 664- 672.
3. Giancoli, D. 2006. Fisica: principi con applicazioni. 6 ° .. Ed Prentice Hall. 443-444.
4. Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14. Ed. Volume 1. 647-673.
5. SI Ridefinizione. Kelvin: Boltzmann Constant. Estratto da: nist.gov