- A cosa serve il coefficiente di restituzione?
- Quantità di moto
- Energia e coefficiente di restituzione
- Come viene calcolato il coefficiente di restituzione?
- Esempio
- Soluzione
- Riferimenti
Il coefficiente di restituzione è il quoziente tra la velocità relativa di ritirata e la velocità relativa di avvicinamento di due corpi in collisione. Quando i corpi sono uniti dopo la collisione, questo quoziente è zero. E l'unità vale nel caso in cui l'urto sia perfettamente elastico.
Supponiamo che due sfere solide di massa M1 e di massa M2 si scontrino rispettivamente. Appena prima dell'urto le sfere avevano velocità V1 e V2 rispetto ad un certo sistema di riferimento inerziale. Subito dopo la collisione le loro velocità cambiano in V1 ' e V2' .
Figura 1. Collisione di due sfere di massa M1 e M2 e loro coefficiente di restituzione e. Preparato da Ricardo Pérez.
Il carattere in grassetto è stato inserito nelle velocità per indicare che si tratta di quantità vettoriali.
Gli esperimenti indicano che ogni collisione soddisfa la seguente relazione:
V1 ' - V2' = -e (V1 - V2)
Dove e è un numero reale compreso tra 0 e 1, chiamato coefficiente di restituzione della collisione. L'espressione sopra è interpretata in questo modo:
La velocità relativa di due particelle prima della collisione è proporzionale alla velocità relativa delle due particelle dopo la collisione, la costante di proporzionalità è (-e), dove e è il coefficiente di restituzione della collisione.
A cosa serve il coefficiente di restituzione?
L'utilità di questo coefficiente sta nel conoscere il grado di anelasticità di una collisione. Nel caso in cui l'urto sia perfettamente elastico il coefficiente sarà 1, mentre in un urto completamente anelastico il coefficiente sarà 0, poiché in questo caso la velocità relativa dopo l'urto è zero.
Viceversa, se il coefficiente di restituzione di una collisione e le velocità delle particelle prima di essa sono note, è possibile prevedere le velocità dopo che si è verificata la collisione.
Quantità di moto
Nelle collisioni, oltre al rapporto stabilito dal coefficiente di restituzione, esiste un altro rapporto fondamentale, che è la conservazione della quantità di moto.
La quantità di moto p di una particella, o quantità di moto come viene anche chiamata, è il prodotto della massa M della particella e della sua velocità V. Cioè, la quantità di moto p è una quantità vettoriale.
Nelle collisioni la quantità di moto lineare P del sistema è la stessa appena prima e subito dopo la collisione, perché le forze esterne sono trascurabili rispetto alle forze di interazione interne brevi ma intense durante la collisione. Ma la conservazione della quantità di moto P del sistema non è sufficiente per risolvere il problema generale della collisione.
Nel caso precedentemente citato, quello delle due sfere di massa M1 e M2 in collisione, la conservazione della quantità di moto lineare è scritta così:
M1 V1 + M2 V2 = M1 V1 ' + M2 V2' .
Non c'è modo di risolvere il problema della collisione se il coefficiente di restituzione non è noto. La conservazione della quantità di moto, sebbene necessaria, non è sufficiente per prevedere le velocità dopo la collisione.
Quando un problema afferma che i corpi rimangono in movimento insieme dopo la collisione, dice implicitamente che il coefficiente di restituzione è 0.
Figura 2. Nelle palle da biliardo ci sono urti con un coefficiente di restituzione di poco inferiore a 1. Fonte: Pixabay.
Energia e coefficiente di restituzione
L'altra importante quantità fisica coinvolta nelle collisioni è l'energia. Durante le collisioni ci sono scambi di energia cinetica, energia potenziale e altri tipi di energia, come l'energia termica.
Prima e dopo la collisione, l'energia potenziale di interazione è praticamente nulla, quindi il bilancio energetico coinvolge l'energia cinetica delle particelle prima e dopo e una quantità Q chiamata energia dissipata.
Per le due sfere di massa in collisione M1 e M2, il bilancio energetico prima e dopo la collisione è scritto come segue:
½ M1 V1 ^ 2 + ½ M2 V2 ^ 2 = ½ M1 V1 ' ^ 2 + ½ M2 V2' ^ 2 + Q
Quando le forze di interazione durante la collisione sono puramente conservative, accade che l'energia cinetica totale delle particelle in collisione sia conservata, cioè è la stessa prima e dopo la collisione (Q = 0). Quando ciò accade, si dice che l'urto è perfettamente elastico.
In caso di urti elastici, nessuna energia viene dissipata. E anche il coefficiente di restituzione soddisfa: e = 1.
Al contrario, negli urti anelastici Q ≠ 0 e 0 ≤ e <1. Sappiamo, ad esempio, che l'urto delle palle da biliardo non è perfettamente elastico perché il suono che viene emesso durante l'impatto fa parte dell'energia dissipata .
Affinché un problema di collisione sia perfettamente determinato, è necessario conoscere il coefficiente di restituzione, o in alternativa la quantità di energia dissipata durante la collisione.
Il coefficiente di restituzione dipende dalla natura e dal tipo di interazione tra i due corpi durante l'urto.
Da parte sua, la velocità relativa dei corpi prima della collisione definirà l'intensità dell'interazione e quindi la sua influenza sul coefficiente di restituzione.
Come viene calcolato il coefficiente di restituzione?
Per illustrare come viene calcolato il coefficiente di restituzione di una collisione, prenderemo un semplice caso:
Supponiamo l'urto di due sfere di massa M1 = 1 kg e M2 = 2 kg che si muovono su un binario rettilineo senza attrito (come in Figura 1).
La prima sfera urta con velocità iniziale V1 = 1 m / s sulla seconda che è originariamente a riposo, cioè V2 = 0 m / s.
Dopo la collisione si muovono in questo modo: il primo si ferma (V1 '= 0 m / s) e il secondo si sposta a destra con velocità V2' = 1/2 m / s.
Per calcolare il coefficiente di restituzione in questa collisione applichiamo la relazione:
V1 '- V2' = -e ( V1 - V2 )
0 m / s - 1/2 m / s = - e (1 m / s - 0 m / s) => - 1/2 = - e => e = 1/2.
Esempio
Nella collisione unidimensionale delle due sfere della sezione precedente, è stato calcolato il suo coefficiente di restituzione, risultando e = ½.
Poiché e ≠ 1 l'urto non è elastico, cioè l'energia cinetica del sistema non viene conservata e c'è una certa quantità di energia dissipata Q (ad esempio riscaldamento delle sfere dovuto all'urto).
Determina il valore dell'energia dissipata in Joule. Calcola anche la frazione percentuale di energia dissipata.
Soluzione
L'energia cinetica iniziale della sfera 1 è:
K1i = ½ M1 V1 ^ 2 = ½ 1 kg (1 m / s) ^ 2 = ½ J
mentre quello della sfera 2 è zero perché inizialmente è a riposo.
Allora l'energia cinetica iniziale del sistema è Ki = ½ J.
Dopo la collisione, solo la seconda sfera si muove con velocità V2 '= ½ m / s, quindi l'energia cinetica finale del sistema sarà:
Kf = ½ M2 V2 '^ 2 = ½ 2 kg (½ m / s) ^ 2 = ¼ J
Cioè, l'energia dissipata nella collisione è:
Q = Ki - Kf = (½ J - ¼ J) = 1/4 J
E la frazione di energia dissipata in questa collisione viene calcolata come segue:
f = Q / Ki = ¼ / ½ = 0,5, vale a dire che il 50% dell'energia del sistema è stato dissipato a causa dell'urto anelastico il cui coefficiente di restituzione è 0,5.
Riferimenti
- Bauer, W. 2011. Fisica per l'ingegneria e le scienze. Volume 1. Mc Graw Hill.
- Figueroa, D. 2005. Serie: Fisica per le scienze e l'ingegneria. Volume 1. Cinematica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
- Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
- Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14. Ed. Volume 1.
- Wikipedia. Quantità di movimento Estratto da: en.wikipedia.org.