ARCO (GEOMETRIA): MISURA, TIPI DI ARCHI, ESEMPI - MATEMATICA - 2024

L' arco , in geometria, è una qualsiasi linea curva che collega due punti. Una linea curva, a differenza di una linea retta, è quella la cui direzione è diversa in ogni punto su di essa. L'opposto di un arco è un segmento, poiché si tratta di una sezione diritta che unisce due punti.

L'arco più frequentemente utilizzato in geometria è l'arco di circonferenza. Altri archi di uso comune sono l'arco parabolico, l'arco ellittico e l'arco catenaria. La forma ad arco è spesso utilizzata anche in architettura come elemento decorativo e elemento strutturale. È il caso degli architravi di porte e finestre, ma anche di ponti e acquedotti.

Figura 1. L'arcobaleno è una linea curva che unisce due punti sull'orizzonte. Fonte: Pixabay

L'arco e la sua misura

La misura di un arco è la sua lunghezza, che dipende dal tipo di curva che collega i due punti e dalla loro posizione.

La lunghezza di un arco circolare è una delle più semplici da calcolare, perché è nota la lunghezza dell'arco completo o del perimetro di una circonferenza.

Il perimetro di un cerchio è due volte il suo raggio: p = 2 π R. Sapendo questo, se vogliamo calcolare la lunghezza s di un arco circolare di angolo α (misurato in radianti) e raggio R, viene applicata una proporzione:

(s / p) = (α / 2 π)

Quindi, cancellando s dall'espressione precedente e sostituendo il perimetro p alla sua espressione in funzione del raggio R, abbiamo:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Cioè, la misura di un arco circolare è il prodotto della sua apertura angolare per il raggio dell'arco circolare.

Per un arco in generale il problema è più complicato, al punto che i grandi pensatori dell'antichità affermavano che si trattava di un compito impossibile.

Fu solo con l'avvento del calcolo differenziale e integrale nel 1665 che il problema della misurazione di qualsiasi arco fu risolto in modo soddisfacente.

Prima dell'invenzione del calcolo differenziale, le soluzioni potevano essere trovate solo usando linee poligonali o archi di circonferenza che si avvicinavano all'arco reale, ma queste soluzioni non erano esatte.

Tipi di archi

Dal punto di vista della geometria, gli archi sono classificati in base alla linea curva che unisce due punti sul piano. Esistono altre classificazioni in base al suo uso e alla forma architettonica.

Arco circolare

Quando la linea che collega due punti nel piano è un pezzo di circonferenza di un certo raggio, abbiamo un arco circolare. La figura 2 mostra un arco circolare c di raggio R che collega i punti A e B.

Figura 2. Arco circolare di raggio R che collega i punti A e B. Elaborato da Ricardo Pérez.

Arco parabolico

La parabola è il percorso seguito da un oggetto che è stato lanciato obliquamente in aria. Quando la curva che unisce due punti è una parabola, allora abbiamo un arco parabolico come quello mostrato in figura 3.

Figura 3. Arco parabolico che collega i punti A e B. Elaborato da Ricardo Pérez.

Questa è la forma del getto d'acqua che esce da un tubo flessibile rivolto verso l'alto. L'arco parabolico può essere osservato nelle sorgenti d'acqua.

Figura 4. Arco parabolico formato dall'acqua di una fontana a Dresda. Fonte: Pixabay.

Arco catenaria

L'arco della catenaria è un altro arco naturale. La catenaria è la curva che si forma naturalmente quando una catena o una fune pende liberamente da due punti separati.

Figura 5. Arco catenario e confronto con l'arco parabolico. Preparato da Ricardo Pérez.

La catenaria è simile alla parabola, ma non è esattamente la stessa che si può vedere nella figura 4.

L'arco della catenaria rovesciata è utilizzato in architettura come elemento strutturale ad alta resistenza alla compressione. In effetti, si può dimostrare che è il tipo di arco più forte tra tutte le forme possibili.

Per costruire un solido arco di catenaria, è sufficiente copiare la forma di una corda o catena sospesa, quindi la forma copiata viene capovolta per riprodurla sull'architrave della porta o della finestra.

Arco ellittico

Un arco è ellittico se la curva che collega due punti è un pezzo di ellisse. L'ellisse è definita come il luogo dei punti la cui distanza da due punti dati si somma sempre a una quantità costante.

L'ellisse è una curva che compare in natura: è la curva della traiettoria dei pianeti attorno al Sole, come dimostrato da Johannes Keplero nel 1609.

In pratica si può disegnare un'ellisse appuntando due puntoni a terra o due spilli in un pezzo di carta e legandovi uno spago. La corda viene quindi tesa con il pennarello o la matita e viene tracciata la curva. Un pezzo di ellisse è un arco ellittico. La seguente animazione mostra come viene disegnata l'ellisse:

Figura 5. Tracciamento di un'ellisse utilizzando una corda tesa. Fonte: Wikimedia Commons

La Figura 6 mostra un arco ellittico che collega i punti G e H.

Figura 6. Arco ellittico che collega due punti. Preparato da Ricardo Pérez.

Esempi di archi

I seguenti esempi si riferiscono a come calcolare il perimetro di alcuni archi specifici.

Esempio 1

La figura 7 mostra una finestra rifinita con un arco circolare tagliato. Le dimensioni mostrate in figura sono in piedi. Trova la lunghezza dell'arco.

Figura 7. Calcolo della lunghezza dell'arco circolare di una finestra. (Annotazioni proprie - immagine della finestra su Pixabay)

Per ottenere il centro e il raggio dell'arco circolare dell'architrave della finestra, sull'immagine vengono eseguite le seguenti costruzioni:

-Viene disegnato il segmento KL e la sua bisettrice.

-Quindi si trova il punto più alto dell'architrave, che chiamiamo M. Successivamente, si considera il segmento KM e si traccia la sua mediatrice.

L'intercetta delle due bisettrici è il punto N ed è anche il centro dell'arco di cerchio.

-Ora dobbiamo misurare la lunghezza del segmento NM, che coincide con il raggio R dell'arco di cerchio: R = 2.8 piedi.

-Per conoscere la lunghezza dell'arco oltre al raggio, è necessario conoscere l'angolo che forma l'arco. Che può essere determinato con due metodi, o viene misurato con un goniometro o in alternativa viene calcolato utilizzando la trigonometria.

Nel caso mostrato, l'angolo formato dall'arco è 91.13º, che deve essere convertito in radianti:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radianti

Infine calcoliamo la lunghezza s dell'arco utilizzando la formula s = α R.

s = 1,59 * 2,8 piedi = 4,45 piedi

Esempio 2

Trova la lunghezza dell'arco ellittico mostrato in figura 8, conoscendo il semiasse maggiore r e il semiasse minore s dell'ellisse.

Figura 8. Arco ellittico tra GH. Preparato da Ricardo Pérez.

Trovare la lunghezza di un'ellisse è stato per molto tempo uno dei problemi più difficili in matematica. Si possono ottenere soluzioni espresse da integrali ellittici ma per avere un valore numerico è necessario espandere questi integrali in serie di potenze. Un risultato esatto richiederebbe infiniti termini di quelle serie.

Fortunatamente, il genio matematico indù Ramanujan, vissuto tra il 1887 e il 1920, ha trovato una formula che si avvicina molto precisamente al perimetro di un'ellisse:

Il perimetro di un'ellisse con r = 3 cm es = 2,24 cm è 16,55 cm. Tuttavia, l'arco ellittico mostrato ha la metà di quel valore:

Lunghezza dell'arco ellittico GH = 8,28 cm.

Riferimenti

1. Clemens S. 2008. Geometria e trigonometria. Pearson Education.
2. García F. Procedure numeriche in Java. Lunghezza di un'ellisse. Recupero da: sc.ehu.es
3. Geometria dinamica. Archi. Recupero da geometriadinamica.es
4. Piziadas. Ellissi e parabole intorno a noi. Estratto da: piziadas.com
5. Wikipedia. Arco (geometria). Estratto da: es.wikipedia.com