13 CLASSI DI INSIEMI ED ESEMPI - VOCABOLARIO CULTURALE - 2025

Le classi di insiemi possono essere classificate in uguali, finite e infinite, sottoinsiemi, vuoti, disgiunti o disgiuntivi, equivalenti, unitari, sovrapposti o sovrapposti, congruenti e non congruenti, tra gli altri.

Un set è una raccolta di oggetti, ma sono necessari nuovi termini e simboli per poter parlare in modo sensato di set. Ad esempio, diciamo set di cavalli, set di numeri reali, set di persone, set di cani, ecc.

Nel linguaggio ordinario, il mondo in cui viviamo ha un senso classificando le cose. Lo spagnolo ha molte parole per tali raccolte. Ad esempio, "uno stormo di uccelli", "un branco di bovini", "uno sciame di api" e "una colonia di formiche".

In matematica si fa qualcosa di simile quando si classificano numeri, figure geometriche, ecc. Gli oggetti in questi insiemi sono chiamati elementi dell'insieme.

Descrizione di un set

Un insieme può essere descritto elencando tutti i suoi elementi. Per esempio,

S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S è l'insieme i cui elementi sono 1, 3, 5, 7 e 9." I cinque elementi dell'insieme sono separati da virgole e sono elencati tra parentesi graffe.

Un insieme può anche essere delimitato presentando una definizione dei suoi elementi tra parentesi quadre. Pertanto, l'insieme S sopra può anche essere scritto come:

S = {numeri interi dispari inferiori a 10}.

Un insieme deve essere ben definito. Ciò significa che la descrizione degli elementi di un set deve essere chiara e non ambigua. Ad esempio, {persone alte} non è un set, perché le persone tendono a non essere d'accordo con il significato di "alto". Un esempio di un insieme ben definito è

T = {lettere dell'alfabeto}.

Tipi di set

1- Insiemi uguali

Due insiemi sono uguali se hanno esattamente gli stessi elementi.

Per esempio:

• Se A = {Vocali dell'alfabeto} e B = {a, e, i, o, u} si dice che A = B.
• D'altra parte, gli insiemi {1, 3, 5} e {1, 2, 3} non sono gli stessi, perché hanno elementi diversi. Questo è scritto come {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
• L'ordine in cui gli elementi sono scritti all'interno delle parentesi non ha alcuna importanza. Ad esempio, {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
• Se un elemento viene visualizzato nell'elenco più di una volta, viene conteggiato una sola volta. Ad esempio, {a, a, b} = {a, b}.

L'insieme {a, a, b} ha solo i due elementi a e b. La seconda menzione di a è una ripetizione non necessaria e può essere ignorata. Di solito è considerata una cattiva notazione quando un elemento viene enumerato più di una volta.

2- Insiemi finiti e infiniti

Gli insiemi finiti sono quelli in cui tutti gli elementi dell'insieme possono essere contati o enumerati. Ecco due esempi:

• {Numeri interi compresi tra 2.000 e 2.005} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004}
• {Numeri interi compresi tra 2.000 e 3.000} = {2.001, 2.002, 2.003,…, 2.999}

I tre punti "…" nel secondo esempio rappresentano gli altri 995 numeri dell'insieme. Tutti gli elementi avrebbero potuto essere elencati, ma per risparmiare spazio sono stati utilizzati i punti. Questa notazione può essere utilizzata solo se è completamente chiaro cosa significa, come in questa situazione.

Un set può anche essere infinito: tutto ciò che conta è che sia ben definito. Ecco due esempi di insiemi infiniti:

• {Numeri pari e interi maggiori o uguali a due} = {2, 4, 6, 8, 10,…}
• {Numeri interi maggiori di 2.000} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004,…}

Entrambi i set sono infiniti, poiché indipendentemente dal numero di elementi che si tenta di enumerare, ci sono sempre più elementi nel set che non possono essere elencati, indipendentemente da quanto tempo si tenta. Questa volta i punti "…" hanno un significato leggermente diverso, perché rappresentano infiniti oggetti non numerati.

3- Imposta i sottoinsiemi

Un sottoinsieme è una parte di un insieme.

• Esempio: i gufi sono un particolare tipo di uccello, quindi ogni gufo è anche un uccello. Nel linguaggio degli insiemi, si esprime dicendo che l'insieme dei gufi è un sottoinsieme dell'insieme degli uccelli.

Un insieme S è chiamato un sottoinsieme di un altro insieme T, se ogni elemento di S è un elemento di T. Questo è scritto come:

• S ⊂ T (leggi "S è un sottoinsieme di T")

Il nuovo simbolo ⊂ significa "è un sottoinsieme di". Quindi {gufi} ⊂ {uccelli} perché ogni gufo è un uccello.

• Se A = {2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, allora A ⊂ B,

Perché ogni elemento di A è un elemento di B.

Il simbolo ⊄ significa "non un sottoinsieme".

Ciò significa che almeno un elemento di S non è un elemento di T. Ad esempio:

• {Uccelli} ⊄ {creature volanti}

Perché uno struzzo è un uccello, ma non vola.

• Se A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, allora A ⊄

Poiché 0 ∈ A, ma 0 ∉ B, leggiamo "0 appartiene all'insieme A", ma "0 non appartiene all'insieme B".

4- Set vuoto

Il simbolo Ø rappresenta l'insieme vuoto, ovvero l'insieme che non ha alcun elemento. Niente nell'intero universo è un elemento di Ø:

• - Ø - = 0 e X ∉ Ø, non importa quale X possa essere.

C'è solo un set vuoto, perché due set vuoti hanno esattamente gli stessi elementi, quindi devono essere uguali tra loro.

5- Insiemi disgiunti o disgiuntivi

Due insiemi sono chiamati disgiunti se non hanno elementi in comune. Per esempio:

• Gli insiemi S = {2, 4, 6, 8} e ​​T = {1, 3, 5, 7} sono disgiunti.

6- Insiemi equivalenti

Si dice che A e B sono equivalenti se hanno lo stesso numero di elementi che li costituiscono, cioè il numero cardinale dell'insieme A è uguale al numero cardinale dell'insieme B, n (A) = n (B). Il simbolo per denotare un insieme equivalente è "↔".

• Ad esempio:
  A = {1, 2, 3}, quindi n (A) = 3
  B = {p, q, r}, quindi n (B) = 3
  Pertanto, A ↔ B

7- Set di unità

È un set che contiene esattamente un elemento. In altre parole, c'è solo un elemento che compone il tutto.

Per esempio:

• S = {a}
• Sia B = {è un numero primo pari}

Pertanto, B è un insieme di unità perché esiste un solo numero primo pari, ovvero 2.

8- Set universale o referenziale

Un insieme universale è la raccolta di tutti gli oggetti in un particolare contesto o teoria. Tutti gli altri insiemi in quella cornice costituiscono sottoinsiemi dell'insieme universale, che prende il nome dalla lettera maiuscola in corsivo U.

La definizione precisa di U dipende dal contesto o dalla teoria in esame. Per esempio:

• U può essere definito come l'insieme di tutti gli esseri viventi sul pianeta Terra. In tal caso, l'insieme di tutti i felini è un sottoinsieme di U, l'insieme di tutti i pesci è un altro sottoinsieme di U.
• Se U è definito come l'insieme di tutti gli animali sul pianeta terra, l'insieme di tutti i felini è un sottoinsieme di U, l'insieme di tutti i pesci è un altro sottoinsieme di U, ma l'insieme di tutti gli alberi non è un sottoinsieme di U.

9- Set sovrapposti o sovrapposti

Due insiemi che hanno almeno un elemento in comune sono chiamati insiemi sovrapposti.

• Esempio: siano X = {1, 2, 3} e Y = {3, 4, 5}

I due insiemi X e Y hanno un elemento in comune, il numero 3. Pertanto, sono chiamati insiemi sovrapposti.

10- Set congruenti.

Sono quegli insiemi in cui ogni elemento di A ha la stessa relazione di distanza con i suoi elementi immagine di B. Esempio:

• B {2, 3, 4, 5, 6} e A {1, 2, 3, 4, 5}

La distanza tra: 2 e 1, 3 e 2, 4 e 3, 5 e 4, 6 e 5 è una (1) unità, quindi A e B sono insiemi congruenti.

11- Insiemi non congruenti

Sono quelli in cui la stessa relazione di distanza tra ogni elemento in A non può essere stabilita con la sua immagine in B. Esempio:

• B {2, 8, 20, 100, 500} e A {1, 2, 3, 4, 5}

La distanza tra: 2 e 1, 8 e 2, 20 e 3, 100 e 4, 500 e 5 è diversa, quindi A e B sono insiemi non congruenti.

12- Insiemi omogenei

Tutti gli elementi che compongono il set appartengono alla stessa categoria, genere o classe. Sono dello stesso tipo. Esempio:

• B {2, 8, 20, 100, 500}

Tutti gli elementi di B sono numeri, quindi l'insieme è considerato omogeneo.

13- Insiemi eterogenei

Gli elementi che fanno parte dell'insieme appartengono a diverse categorie. Esempio:

• A {z, auto, π, edifici, blocco}

Non esiste una categoria alla quale appartengano tutti gli elementi dell'insieme, quindi è un insieme eterogeneo.

Riferimenti

1. Brown, P. et al (2011). Insiemi e diagrammi di Venn. Melbourne, Università di Melbourne.
2. Insieme finito. Estratto da: math.tutorvista.com.
3. Hoon, L. e Hoon, T (2009). Math Insights Secondary 5 Normal (Academic). Singapore, Pearson Education South Asia Pte Ld.
4. Estratto da: searchsecurity.techtarget.com.
5. Tipi di set. Estratto da: math-only-math.com.