- Applicazioni del teorema di Norton
- Relazione tra teoremi di Norton e Thevenin
- Esempio
- Equivalente Norton
- Esercizio risolto
- Soluzione a
- Calcolo RN
- Calcolo IN
- Equivalente Norton
- Soluzione b
- Riferimenti
Il teorema Norton , applicato ai circuiti elettrici, imposta un circuito lineare con due terminali A e B, può essere sostituito da un altro tutto equivalente, costituito da un generatore di corrente io chiamo non collegato in parallelo con una resistenza R n .
Detta corrente I No o I N è quella che fluirebbe tra i punti aeb, se fossero cortocircuitati. La resistenza R N è la resistenza equivalente tra i terminali, quando tutte le sorgenti indipendenti si spengono. Tutto ciò che è stato detto è delineato nella Figura 1.
Figura 1. Circuito equivalente Norton. Fonte: Wikimedia Commons. Drumkid
La scatola nera in figura contiene il circuito lineare da sostituire con il suo equivalente Norton. Un circuito lineare è quello in cui l'ingresso e l'uscita hanno una dipendenza lineare, come la relazione tra la tensione V e la corrente continua I in un elemento ohmico: V = IR
Questa espressione corrisponde alla legge di Ohm, dove R è la resistenza, che può anche essere un'impedenza, se si tratta di un circuito a corrente alternata.
Il teorema di Norton è stato sviluppato dall'ingegnere elettrico e inventore Edward L. Norton (1898-1983), che ha lavorato a lungo per i Bell Labs.
Applicazioni del teorema di Norton
Quando si hanno reti molto complicate, con molte resistenze o impedenze e si vuole calcolare la tensione tra una qualsiasi di esse, o la corrente che la attraversa, il teorema di Norton semplifica i calcoli, poiché come abbiamo visto la rete può essere sostituita da un circuito più piccolo e più gestibile.
In questo modo, il teorema di Norton è molto importante quando si progettano circuiti con più elementi, così come per studiarne la risposta.
Relazione tra teoremi di Norton e Thevenin
Il teorema di Norton è il duale del teorema di Thevenin, il che significa che sono equivalenti. Il teorema di Thevenin afferma che la scatola nera nella Figura 1 può essere sostituita da una sorgente di tensione in serie con un resistore, chiamato resistore di Thevenin R Th . Questo è espresso nella figura seguente:
Figura 2. Circuito originale a sinistra e suoi equivalenti Thévenin e Norton. Fonte: F. Zapata.
Il circuito a sinistra è il circuito originale, la rete lineare nella scatola nera, il circuito A in alto a destra è l'equivalente di Thevenin e il circuito B è l'equivalente Norton, come descritto. Visti dai terminali aeb, i tre circuiti sono equivalenti.
Ora nota che:
-Nel circuito originale la tensione tra i terminali è V ab .
-V ab = V Th nel circuito A
-Infine, V ab = I N .R N nel circuito B
Se i terminali aeb sono cortocircuitati in tutti e tre i circuiti, è necessario accertarsi che la tensione e la corrente tra questi punti siano uguali per tutti e tre, poiché sono equivalenti. Così:
-Nel circuito originale la corrente è i.
-Per il circuito A, la corrente è i = V Th / R Th , secondo la legge di Ohm.
-Infine nel circuito B, la corrente è I N
Si conclude quindi che le resistenze Norton e Thevenin hanno lo stesso valore, e che la corrente è data da:
io = I N = V Th / R Th = V Th / R N
Esempio
Per applicare correttamente il teorema di Norton, vengono seguiti i seguenti passaggi:
-Isolare dalla rete la sezione del circuito per la quale si trova l'equivalente Norton.
-Nel circuito rimanente, indicare i terminali a e b.
-Sostituire le sorgenti di tensione per i cortocircuiti e le sorgenti di corrente per i circuiti aperti, per trovare la resistenza equivalente tra i terminali a e b. Questo è R N .
-Riportare tutte le sorgenti nelle posizioni originali, cortocircuitare i terminali e trovare la corrente che circola tra di loro. Questo è I N .
-Disegnare il circuito equivalente Norton secondo quanto indicato in figura 1. Sia la sorgente di corrente che la resistenza equivalente sono in parallelo.
Il teorema di Thevenin può anche essere applicato per trovare R Th, che già sappiamo essere uguale a R N , quindi per legge di Ohm possiamo trovare I N e procedere a disegnare il circuito risultante.
E ora vediamo un esempio:
Trova l'equivalente Norton tra i punti A e B del seguente circuito:
Figura 3. Esempio di circuito. Fonte: F. Zapata.
La parte del circuito di cui si vuole trovare l'equivalente è già isolata. E i punti A e B sono chiaramente determinati. Quanto segue è cortocircuitare la sorgente 10 V e trovare la resistenza equivalente del circuito ottenuto:
Figura 4. Sorgente in cortocircuito. Fonte: F. Zapata.
Visti dai terminali A e B, entrambi i resistori R 1 e R 2 sono in parallelo, quindi:
1 / R eq = 1 / R 12 = (1/4) + (1/6) Ω -1 = 5/12 Ω -1 → R eq = 12/5 Ω = 2,4 Ω
Poi la fonte è al suo posto ed i punti A e B sono in corto per trovare la corrente che scorre lì, questo mi N . In quel caso:
Figura 5. Circuito per calcolare la corrente Norton. Fonte: F. Zapata.
I N = 10 V / 4 Ω = 2,5 A.
Equivalente Norton
Infine l'equivalente Norton viene disegnato con i valori trovati:
Figura 6. Equivalente Norton del circuito in figura 3. Fonte: F. Zapata.
Esercizio risolto
Nel circuito della figura seguente:
Figura 7. Circuito per l'esercizio risolto. Fonte: Alexander, C. 2006. Fondamenti di circuiti elettrici. 3 °. Edizione. Mc Graw Hill.
a) Trova il circuito Norton equivalente della rete esterna al resistore blu.
b) Trova anche l'equivalente di Thévenin.
Soluzione a
Seguendo i passaggi sopra indicati, la sorgente deve essere cortocircuitata:
Figura 8. Sorgente in corto circuito nel circuito di figura 7. Fonte: F. Zapata.
Calcolo RN
Visto dai terminali A e B, il resistore R 3 è in serie al parallelo formato dai resistori R 1 e R 2 , calcoliamo prima la resistenza equivalente di questo parallelo:
E poi questo parallelo è in serie con R 3, quindi la resistenza equivalente è:
Questo è il valore sia di R N che di R Th , come spiegato in precedenza.
Calcolo IN
I terminali A e B vengono quindi cortocircuitati, riportando la sorgente al suo posto:
Figura 9. Circuiti per trovare la corrente Norton. Fonte: F. Zapata.
La corrente attraverso I 3 è la corrente I N ricercata, che può essere determinata con il metodo mesh o utilizzando serie e parallelo. In questo circuito R 2 e R 3 sono in parallelo:
Il resistore R 1 è in serie con questo parallelo, quindi:
La corrente in uscita dalla sorgente (colore blu) viene calcolata utilizzando la legge di Ohm:
Questa corrente è divisa in due parti: una che passa per R 2 e un'altra che passa per R 3 . Tuttavia, la corrente che passa per il parallelo R 23 è la stessa che passa per R 1 , come si può vedere nel circuito intermedio in figura. La tensione c'è:
Entrambi i resistori R 2 e R 3 sono a quella tensione, poiché sono in parallelo, quindi:
Abbiamo già cercato la corrente Norton, poiché come detto in precedenza I 3 = I N , quindi:
Equivalente Norton
Tutto è pronto per disegnare l'equivalente Norton di questo circuito tra i punti A e B:
Figura 10. Equivalente Norton del circuito in figura 7. Fonte: F. Zapata.
Soluzione b
Trovare l'equivalente di Thévenin è molto semplice, poiché R Th = R N = 6 Ω e come spiegato nelle sezioni precedenti:
V Th = I N . R N = 1 A. 6 Ω = 6 V
Il circuito equivalente di Thévenin è:
Figura 11. Equivalente di Thevenin del circuito di figura 7. Fonte: F. Zapata.
Riferimenti
- Alexander, C. 2006. Fondamenti di circuiti elettrici. 3 °. Edizione. Mc Graw Hill.
- Boylestad, R. 2011. Introduzione all'analisi dei circuiti. 2 °. Edizione. Pearson.
- Dorf, R. 2006. Introduzione ai circuiti elettrici. 7 °. Edizione. John Wiley & Sons.
- Edminister, J. 1996. Circuiti elettrici. Serie Schaum. 3 °. Edizione. Mc Graw Hill.
- Wikipedia. Teorema di Norton. Estratto da: es.wikipedia.org.