TEOREMA DI MOIVRE: DIMOSTRAZIONE ED ESERCIZI RISOLTI - MATEMATICA - 2026

Il teorema di Moivre applicava i processi fondamentali dell'algebra, come le potenze e l'estrazione di radici in numeri complessi. Il teorema è stato affermato dal famoso matematico francese Abraham de Moivre (1730), che associava i numeri complessi alla trigonometria.

Abraham Moivre ha creato questa associazione attraverso le espressioni del seno e del coseno. Questo matematico ha generato una sorta di formula attraverso la quale è possibile elevare un numero complesso z alla potenza n, che è un numero intero positivo maggiore o uguale a 1.

Qual è il teorema di Moivre?

Il teorema di Moivre afferma quanto segue:

Se abbiamo un numero complesso nella forma polare z = r _Ɵ , dove r è il modulo del numero complesso z, e l'angolo Ɵ è chiamato l'ampiezza o l'argomento di qualsiasi numero complesso con 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, per calcolare il suo n– th potenza non sarà necessario moltiplicarlo per se stesso n volte; ovvero, non è necessario realizzare il seguente prodotto:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n volte.

Al contrario, il teorema dice che, scrivendo z nella sua forma trigonometrica, per calcolare l'ennesima potenza si procede come segue:

Se z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) allora z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Ad esempio, se n = 2, allora z ² = r ² . Se n = 3, allora z ³ = z ² _* z. Anche:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

In questo modo si possono ottenere i rapporti trigonometrici del seno e del coseno per multipli di un angolo, purché siano noti i rapporti trigonometrici dell'angolo.

Allo stesso modo può essere utilizzato per trovare espressioni più precise e meno confuse per la radice n-esima di un numero complesso z, in modo che z ⁿ = 1.

Per dimostrare il teorema di Moivre, viene utilizzato il principio dell'induzione matematica: se un intero "a" ha una proprietà "P", e se per ogni intero "n" maggiore di "a" che ha la proprietà "P" Soddisfa che n + 1 ha anche la proprietà "P", quindi tutti i numeri interi maggiori o uguali ad "a" hanno la proprietà "P".

Dimostrazione

Pertanto, la dimostrazione del teorema viene eseguita con i seguenti passaggi:

Base induttiva

Viene prima controllato per n = 1.

Poiché z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , il teorema vale per n = 1.

Ipotesi induttiva

Si presume che la formula sia vera per un numero intero positivo, ovvero n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Verifica

Si è dimostrato vero per n = k + 1.

Poiché z ^{k + 1} = z ^k _* z, allora z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + io _* senƟ).

Quindi le espressioni vengono moltiplicate:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Per un momento il fattore r ^{k + 1} viene ignorato e viene preso il fattore comune i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Poiché i ² = -1, lo sostituiamo nell'espressione e otteniamo:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Ora la parte reale e la parte immaginaria sono ordinate:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Per semplificare l'espressione, per il coseno e il seno vengono applicate le identità trigonometriche della somma degli angoli, che sono:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

In questo caso, le variabili sono gli angoli Ɵ e kƟ. Applicando le identità trigonometriche, abbiamo:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

In questo modo, l'espressione è:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Quindi si potrebbe dimostrare che il risultato è vero per n = k + 1. In base al principio dell'induzione matematica, si conclude che il risultato è vero per tutti i numeri interi positivi; cioè, n ≥ 1.

Numero intero negativo

Il teorema di Moivre si applica anche quando n ≤ 0. Consideriamo un intero negativo «n»; quindi "n" può essere scritto come "-m", ovvero n = -m, dove "m" è un numero intero positivo. Così:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Per ottenere l'esponente «m» in modo positivo, l'espressione va scritta inversamente:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Ora, si usa che se z = a + b * i è un numero complesso, allora 1 ÷ z = ab * i. Così:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Usando quel cos (x) = cos (-x) e quello -sen (x) = sin (-x), abbiamo:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Quindi, si può dire che il teorema si applica a tutti i valori interi di "n".

Esercizi risolti

Calcolo delle potenze positive

Una delle operazioni con numeri complessi nella loro forma polare è la moltiplicazione per due di questi; in tal caso si moltiplicano i moduli e si aggiungono gli argomenti.

Se hai due numeri complessi z _{1 e} z ₂ e desideri calcolare (z ₁ * z ₂ ) ² , procedi come segue:

z ₁ z ₂ = *

La proprietà distributiva si applica:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

Sono raggruppati, prendendo il termine "i" come fattore comune delle espressioni:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Poiché i ² = -1, è sostituito nell'espressione:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

I termini reali sono raggruppati con reale e immaginario con immaginario:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Infine, si applicano le proprietà trigonometriche:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

In conclusione:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

Esercizio 1

Scrivi il numero complesso in forma polare se z = - 2 -2i. Quindi, usando il teorema di Moivre, calcola z ⁴ .

Soluzione

Il numero complesso z = -2 -2i è espresso nella forma rettangolare z = a + bi, dove:

a = -2.

b = -2.

Sapendo che la forma polare è z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), dobbiamo determinare il valore del modulo "r" e il valore dell'argomento "Ɵ". Poiché r = √ (a² + b²), i valori dati vengono sostituiti:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Quindi, per determinare il valore di «Ɵ», viene applicata la forma rettangolare di questo, che è data dalla formula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Poiché tan (Ɵ) = 1 e abbiamo a <0, allora abbiamo:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Essendo già stato ottenuto il valore di «r» e «Ɵ», il numero complesso z = -2 -2i può essere espresso in forma polare sostituendo i valori:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Ora usiamo il teorema di Moivre per calcolare z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Esercizio 2

Trova il prodotto dei numeri complessi esprimendolo in forma polare:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Quindi calcolare (z1 * z2) ².

Soluzione

Per prima cosa si forma il prodotto dei numeri dati:

z ₁ z ₂ = *

Quindi i moduli vengono moltiplicati tra loro e gli argomenti vengono aggiunti:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

L'espressione è semplificata:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Infine, si applica il teorema di Moivre:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Calcolo dei poteri negativi

Per dividere due numeri complessi z _{1 e} z ₂ nella loro forma polare, il modulo viene diviso e gli argomenti vengono sottratti. Pertanto, il quoziente è z ₁ ÷ z ₂ ed è espresso come segue:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Come nel caso precedente, se si vuole calcolare (z1 ÷ z2) ³, si esegue prima la divisione e poi si utilizza il teorema di Moivre.

Esercizio 3

Dadi:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

calcolare (z1 ÷ z2) ³.

Soluzione

Seguendo i passaggi sopra descritti si può concludere che:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Riferimenti

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
2. Croucher, M. (nd). Dal teorema di Moivre per le identità trigonometriche. Progetto dimostrativo Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra e trigonometria.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (nd). Algebra lineare. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalcolo. Pearson Education.