COSA SONO I TRIANGOLI OBLIQUI? (CON ESERCIZI) - MATEMATICA - 2026

I triangoli obliqui sono quei triangoli che non sono rettangoli. In altre parole, i triangoli in modo tale che nessuno dei loro angoli sia un angolo retto (la loro misura è 90º).

Poiché non hanno angoli retti, il teorema di Pitagora non può essere applicato a questi triangoli.

Pertanto, per conoscere i dati in un triangolo obliquo è necessario utilizzare altre formule.

Le formule necessarie per risolvere un triangolo obliquo sono le cosiddette leggi di seno e coseno, che verranno descritte più avanti.

Oltre a queste leggi, si può sempre utilizzare il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo sia uguale a 180º.

Triangoli obliqui

Come affermato all'inizio, un triangolo obliquo è un triangolo tale che nessuno dei suoi angoli misura 90º.

Il problema di trovare le lunghezze dei lati di un triangolo obliquo, oltre a trovare le misure dei suoi angoli, è chiamato "risoluzione di triangoli obliqui".

Un fatto importante quando si lavora con i triangoli è che la somma dei tre angoli interni di un triangolo è uguale a 180º. Questo è un risultato generale, quindi per i triangoli obliqui può essere applicato anche.

Leggi di seno e coseno

Dato un triangolo ABC con lati di lunghezza "a", "b" e "c":

- La legge dei seni afferma che a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), dove A, B e C sono gli angoli opposti a «a», «b» e «c "Rispettivamente.

- La legge dei coseni afferma che: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). In modo equivalente, possono essere utilizzate le seguenti formule:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) oppure a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Utilizzando queste formule, è possibile calcolare i dati per un triangolo obliquo.

esercizi

Di seguito sono riportati alcuni esercizi in cui devono essere trovati i dati mancanti dei triangoli dati, sulla base di alcuni dati forniti.

Primo esercizio

Dato un triangolo ABC tale che A = 45º, B = 60º e a = 12 cm, calcola gli altri dati del triangolo.

Soluzione

Usando che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180º abbiamo quello

C = 180º-45º-60º = 75º.

I tre angoli sono già noti. La legge del seno viene quindi utilizzata per calcolare i due lati mancanti.

Le equazioni che sorgono sono 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Dalla prima uguaglianza possiamo risolvere per «b» e ottenerla

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696 cm.

Possiamo anche risolvere per «c» e ottenerlo

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 cm.

Secondo esercizio

Dato un triangolo ABC tale che A = 60º, C = 75º eb = 10 cm, calcola gli altri dati del triangolo.

Soluzione

Come nell'esercizio precedente, B = 180º-60º-75º = 45º. Inoltre, usando la legge dei seni abbiamo che a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), da cui si ottiene che a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12,247 cm ec = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Terzo esercizio

Dato un triangolo ABC tale che a = 10 cm, b = 15 cm e C = 80º, calcola gli altri dati del triangolo.

Soluzione

In questo esercizio si conosce un solo angolo, quindi non può essere avviato come nei due esercizi precedenti. Inoltre, la legge del seno non può essere applicata perché nessuna equazione potrebbe essere risolta.

Pertanto, procediamo ad applicare la legge dei coseni. È allora quello

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

in modo che c ≈ 16,51 cm. Ora, conoscendo i 3 lati, si usa la legge del seno e si ottiene quella

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80º).

Quindi, risolvendo per B risulta in sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, il che implica che B ≈ 63,38º.

Ora, possiamo ottenere che LA = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Quarto esercizio

I lati di un triangolo obliquo sono a = 5 cm, b = 3 cm ec = 7 cm. Trova gli angoli del triangolo.

Soluzione

Ancora una volta, la legge dei seni non può essere applicata direttamente poiché nessuna equazione servirebbe a ottenere il valore degli angoli.

Usando la legge del coseno abbiamo che c² = a² + b² - 2ab cos (C), da cui risolvendo abbiamo che cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 e quindi C = 120º.

Ora, se la legge dei seni può essere applicata e quindi ottenere 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), da dove possiamo risolvere per B e ottenere quel peccato (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, quindi B = 21,79º.

Infine, l'ultimo angolo viene calcolato utilizzando che A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Riferimenti

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (ristampa ed.). Progresso.
2. Leake, D. (2006). Triangoli (illustrato ed.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Precalcolo. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Tecnologia CR.
5. Sullivan, M. (1997). Precalcolo. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analitica. Pearson Education.