PRINCIPIO ADDITIVO: IN COSA CONSISTE ED ESEMPI - MATEMATICA - 2024

Il principio additivo è una tecnica di conteggio delle probabilità che ci permette di misurare in quanti modi può essere svolta un'attività, la quale, a sua volta, ha diverse alternative da svolgere, di cui solo una alla volta può essere scelta. Un classico esempio di ciò è quando si desidera scegliere una linea di trasporto per andare da un luogo a un altro.

In questo esempio, le alternative corrisponderanno a tutte le possibili linee di trasporto che coprono il percorso desiderato, aereo, marittimo o terrestre. Non possiamo andare in un luogo utilizzando due mezzi di trasporto contemporaneamente; dobbiamo sceglierne solo uno.

Il principio additivo ci dice che il numero di modi che dobbiamo fare questo viaggio corrisponderà alla somma di ogni alternativa (mezzo di trasporto) possibile che esiste per andare nel luogo desiderato, questo includerà anche i mezzi di trasporto che fanno scalo da qualche parte (o luoghi) in mezzo.

Ovviamente, nell'esempio precedente sceglieremo sempre l'alternativa più comoda che meglio si adatta alle nostre possibilità, ma probabilisticamente è molto importante sapere in quanti modi un evento può essere svolto.

Probabilità

In generale, la probabilità è il campo della matematica responsabile dello studio di eventi o fenomeni e degli esperimenti casuali.

Un esperimento o fenomeno casuale è un'azione che non sempre produce gli stessi risultati, anche se viene eseguita con le stesse condizioni iniziali, senza alterare nulla nella procedura iniziale.

Un classico e semplice esempio per capire in cosa consiste un esperimento casuale è l'azione di lanciare una moneta o un dado. L'azione sarà sempre la stessa, ma non sempre otterremo "teste" o "sei", ad esempio.

La probabilità è responsabile della fornitura di tecniche per determinare la frequenza con cui può verificarsi un determinato evento casuale; tra le altre intenzioni, la principale è quella di prevedere possibili eventi futuri che sono incerti.

Probabilità di un evento

Più in particolare, la probabilità che si verifichi un evento A è un numero reale compreso tra zero e uno; cioè un numero appartenente all'intervallo. È indicato con P (A).

Se P (A) = 1, la probabilità che l'evento A si verifichi è del 100% e se è zero non c'è alcuna possibilità che si verifichi. Lo spazio campionario è l'insieme di tutti i possibili risultati che possono essere ottenuti conducendo un esperimento casuale.

Esistono almeno quattro tipi o concetti di probabilità, a seconda del caso: probabilità classica, probabilità frequentista, probabilità soggettiva e probabilità assiomatica. Ognuno si concentra su casi diversi.

La probabilità classica comprende il caso in cui lo spazio campionario ha un numero finito di elementi.

In questo caso, la probabilità che si verifichi un evento A sarà il numero di alternative disponibili per ottenere il risultato desiderato (ovvero, il numero di elementi nell'insieme A), diviso per il numero di elementi nello spazio campionario.

Qui si deve considerare che tutti gli elementi dello spazio campionario devono essere ugualmente probabili (ad esempio, come un dato che non viene alterato, in cui la probabilità di ottenere uno qualsiasi dei sei numeri è la stessa).

Ad esempio, qual è la probabilità che tirando un dado si ottenga un numero dispari? In questo caso, l'insieme A sarebbe composto da tutti i numeri dispari tra 1 e 6, e lo spazio campionario sarebbe composto da tutti i numeri da 1 a 6. Quindi, A ha 3 elementi e lo spazio campionario ne ha 6. Quindi Pertanto, P (A) = 3/6 = 1/2.

Qual è il principio dell'additivo?

Come affermato in precedenza, la probabilità misura la frequenza con cui si verifica un determinato evento. Per poter determinare questa frequenza, è importante sapere in quanti modi questo evento può essere svolto. Il principio dell'additivo ci consente di effettuare questo calcolo in un caso particolare.

Il principio dell'additivo stabilisce quanto segue: se A è un evento che ha modalità di esecuzione "a" e B è un altro evento che ha modalità di esecuzione "b", e se inoltre solo A o B possono verificarsi e non entrambi Allo stesso tempo, allora i modi per realizzarsi A o B (A deB) sono a + b.

In generale, questo è affermato per l'unione di un numero finito di insiemi (maggiore o uguale a 2).

Esempi

Primo esempio

Se una libreria vende libri di letteratura, biologia, medicina, architettura e chimica, di cui dispone di 15 tipi diversi di libri di letteratura, 25 di biologia, 12 di medicina, 8 di architettura e 10 di chimica, quante opzioni ha una persona scegliere un libro di architettura o un libro di biologia?

Il principio additivo ci dice che il numero di opzioni o modi per fare questa scelta è 8 + 25 = 33.

Questo principio può essere applicato anche nel caso in cui sia coinvolto un singolo evento, che a sua volta ha diverse alternative da realizzare.

Supponi di voler svolgere una determinata attività o evento A e che ci siano diverse alternative, ad esempio n.

A sua volta, la prima alternativa ha ₁ modi di essere fatto, la seconda ha ₂ modi di essere fatto e così via, l'alternativa numero n può essere fatto in _n modi.

Il principio additivo afferma che l'evento A può essere eseguito da ₁ + a ₂ +… + in _n modi.

Secondo esempio

Supponiamo che una persona voglia comprare un paio di scarpe. Quando arriva al negozio di scarpe, trova solo due diversi modelli della sua misura di scarpe.

Sono disponibili due colori di uno e cinque colori disponibili dell'altro. In quanti modi questa persona deve effettuare questo acquisto? Secondo il principio additivo la risposta è 2 + 5 = 7.

Il principio additivo dovrebbe essere utilizzato quando si desidera calcolare il modo in cui eseguire un evento o l'altro, non entrambi contemporaneamente.

Per calcolare i diversi modi di svolgere un evento insieme ("e") con un altro - cioè che entrambi gli eventi devono verificarsi contemporaneamente - viene utilizzato il principio moltiplicativo.

Il principio additivo può anche essere interpretato in termini di probabilità come segue: la probabilità che si verifichi un evento A o un evento B, che è denotata con P (A∪B), sapendo che A non può verificarsi contemporaneamente a B, è dato da P (A∪B) = P (A) + P (B).

Terzo esempio

Qual è la probabilità di ottenere un 5 quando si tira un dado o esce testa quando si lancia una moneta?

Come visto sopra, in generale la probabilità di ottenere un numero qualsiasi quando si tira un dado è 1/6.

In particolare, anche la probabilità di ottenere un 5 è 1/6. Allo stesso modo, la probabilità di ottenere testa quando si lancia una moneta è 1/2. Pertanto, la risposta alla domanda precedente è P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Riferimenti

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