PIRAMIDE ESAGONALE: DEFINIZIONE, CARATTERISTICHE ED ESEMPI - MATEMATICA - 2026

Una piramide esagonale è un poliedro formato da un esagono, che è la base, e sei triangoli che partono dai vertici dell'esagono e si incontrano in un punto esterno al piano che contiene la base. Questo punto di concorrenza è noto come vertice o apice della piramide.

Un poliedro è un corpo geometrico tridimensionale chiuso le cui facce sono figure piane. Un esagono è una figura piana chiusa (poligono) composta da sei lati. Se tutti e sei i lati hanno la stessa lunghezza e formano angoli uguali, si dice che sia regolare; altrimenti è irregolare.

Definizione

Una piramide esagonale contiene sette facce, la base ed i sei triangoli laterali, di cui la base è l'unica che non tocca il vertice.

Si dice che la piramide sia diritta se tutti i triangoli laterali sono isosceli. In questo caso l'altezza della piramide è il segmento che va dal vertice al centro dell'esagono.

In generale, l'altezza di una piramide è la distanza tra il vertice e il piano della base. Si dice che la piramide sia obliqua se non tutti i triangoli laterali sono isosceli.

Se l'esagono è regolare e anche la piramide è diritta, si dice che sia una piramide esagonale regolare. Allo stesso modo, se l'esagono è irregolare o la piramide è obliqua, si dice che sia una piramide esagonale irregolare.

caratteristiche

Concavo o convesso

Un poligono è convesso se la misura di tutti gli angoli interni è inferiore a 180 gradi. Geometricamente, ciò equivale a dire che, data una coppia di punti all'interno del poligono, il segmento di linea che li unisce è contenuto nel poligono. Altrimenti si dice che il poligono sia concavo.

Se l'esagono è convesso, si dice che la piramide sia una piramide esagonale convessa. Altrimenti, si dirà che è una piramide esagonale concava.

Bordi

I bordi di una piramide sono i lati dei sei triangoli che la compongono.

Apotema

L'apotema della piramide è la distanza tra il vertice e i lati della base della piramide. Questa definizione ha senso solo quando la piramide è regolare, perché se è irregolare, questa distanza varia a seconda del triangolo considerato.

Al contrario, nelle piramidi regolari l'apotema corrisponderà all'altezza di ogni triangolo (poiché ognuno è isoscele) e sarà lo stesso in tutti i triangoli.

L'apotema della base è la distanza tra uno dei lati della base e il centro di essa. Dal modo in cui è definito, l'apotema della base ha senso anche solo nelle piramidi regolari.

Denotazioni

L'altezza di una piramide esagonale sarà indicata con h , l'apotema della base (nel caso regolare) con APb e l' apotema della piramide (anche nel caso regolare) con AP .

Una caratteristica delle piramidi esagonali regolari è che h , APb e AP formano un triangolo rettangolo con ipotenusa AP e gambe h e APb . Per il teorema di Pitagora abbiamo che AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

L'immagine sopra rappresenta una piramide regolare.

Come calcolare l'area? formule

Considera una piramide esagonale regolare. Sia A la misura di ciascun lato dell'esagono. Quindi A corrisponde alla misura della base di ciascun triangolo della piramide e, quindi, ai bordi della base.

L'area di un poligono è il prodotto del perimetro (la somma dei lati) e l'apotema della base, diviso per due. Nel caso di un esagono sarebbe 3 * A * APb.

Si può vedere che l'area di una piramide esagonale regolare è uguale a sei volte l'area di ciascun triangolo della piramide più l'area della base. Come accennato in precedenza, l'altezza di ciascun triangolo corrisponde all'apotema della piramide, AP.

Pertanto, l'area di ciascun triangolo nella piramide è data da A * AP / 2. Quindi, l'area di una piramide esagonale regolare è 3 * A * (APb + AP), dove A è un bordo della base, APb è l'apotema della base e AP l'apotema della piramide.

Calcolo in piramidi esagonali irregolari

Nel caso di una piramide esagonale irregolare non esiste una formula diretta per calcolare l'area come nel caso precedente. Questo perché ogni triangolo nella piramide avrà un'area diversa.

In questo caso, l'area di ogni triangolo deve essere calcolata separatamente e l'area della base. Quindi l'area della piramide sarà la somma di tutte le aree precedentemente calcolate.

Come calcolare il volume? formule

Il volume di una piramide di forma esagonale regolare è il prodotto dell'altezza della piramide e dell'area della base divisa per tre. Quindi, il volume di una piramide esagonale regolare è dato da A * APb * h, dove A è un bordo della base, APb è l'apotema della base e h è l'altezza della piramide.

Calcolo in piramidi esagonali irregolari

Analogamente all'area, nel caso di una piramide esagonale irregolare non esiste una formula diretta per calcolare il volume in quanto i bordi della base non hanno la stessa misura perché è un poligono irregolare.

In questo caso, l'area della base deve essere calcolata separatamente e il volume sarà (h * Area della base) / 3.

Esempio

Trova l'area e il volume di una piramide esagonale regolare con un'altezza di 3 cm, la cui base è un esagono regolare di 2 cm su ciascun lato e l'apotema della base è di 4 cm.

Soluzione

Per prima cosa bisogna calcolare l'apotema della piramide (AP), che è l'unico dato mancante. Guardando l'immagine sopra, si può vedere che l'altezza della piramide (3 cm) e l'apotema della base (4 cm) formano un triangolo rettangolo; Pertanto, per calcolare l'apotema della piramide, viene utilizzato il teorema di Pitagora:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Quindi, utilizzando la formula scritta sopra ne consegue che l'area è uguale a 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2.

D'altra parte, usando la formula del volume si ottiene che il volume della piramide data è 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3.

Riferimenti

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