ANGOLO NULLO: DEFINIZIONE E CARATTERISTICHE, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

L' angolo nullo è quello la cui misura è 0, sia in gradi che in radianti o un altro sistema di misurazione dell'angolo. Pertanto manca di larghezza o apertura, come quella che si forma tra due linee parallele.

Sebbene la sua definizione sembri abbastanza semplice, l'angolo nullo è molto utile in molte applicazioni di fisica e ingegneria, nonché nella navigazione e nella progettazione.

Figura 1. Tra la velocità e l'accelerazione dell'auto c'è un angolo zero, quindi l'auto va sempre più veloce. Fonte: Wikimedia Commons.

Ci sono grandezze fisiche che devono essere allineati in parallelo per ottenere determinati effetti: se una macchina si muove in linea retta su un'autostrada e tra il suo vettore velocità v e la sua accelerazione vettore una v'è 0 °, l'automobile si muove sempre più veloci, ma se l'auto freni, la sua accelerazione è opposta alla sua velocità (vedi figura 1).

La figura seguente mostra diversi tipi di angolo compreso l'angolo nullo a destra. Come si può vedere, l'angolo 0º manca di larghezza o apertura.

Figura 2. Tipi di angolo, compreso l'angolo nullo. Fonte: Wikimedia Commons. Orias.

Esempi di angoli nulli

È noto che le linee parallele formano un angolo zero l'una con l'altra. Quando hai una linea orizzontale, è parallela all'asse x del sistema di coordinate cartesiane, quindi la sua inclinazione rispetto ad essa è 0. In altre parole, le linee orizzontali hanno pendenza zero.

Figura 3. Le linee orizzontali hanno pendenza zero. Fonte: F. Zapata.

Anche i rapporti trigonometrici dell'angolo nullo sono 0, 1 o infinito. Pertanto l'angolo nullo è presente in molte situazioni fisiche che implicano operazioni con vettori. Questi motivi sono:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-sec 0º = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

E saranno utili per analizzare alcuni esempi di situazioni in cui la presenza dell'angolo nullo gioca un ruolo fondamentale:

- Effetti dell'angolo nullo sulle grandezze fisiche

Aggiunta di vettore

Quando due vettori sono paralleli, l'angolo tra di loro è zero, come mostrato nella Figura 4a sopra. In questo caso, la somma di entrambi viene eseguita sovrapponendoli e l'ampiezza del vettore somma è la somma delle grandezze degli addendi (figura 4b).

Figura 4. Somma di vettori paralleli, in questo caso l'angolo tra di loro è un angolo nullo. Fonte: F. Zapata.

Quando due vettori sono paralleli, l'angolo tra di loro è zero, come mostrato nella Figura 4a sopra. In questo caso la somma di entrambi si effettua sovrapponendola e l'ampiezza del vettore somma è la somma delle grandezze degli addendi (figura 4b)

La coppia o coppia

La coppia o coppia provoca la rotazione di un corpo. Dipende dall'entità della forza applicata e da come viene applicata. Un esempio molto rappresentativo è la chiave nella figura.

Per un migliore effetto di rotazione, la forza viene applicata perpendicolarmente all'impugnatura della chiave, verso l'alto o verso il basso, ma non è prevista alcuna rotazione se la forza è parallela all'impugnatura.

Figura 5. Quando l'angolo tra la posizione e i vettori di forza è zero, non viene prodotta alcuna coppia e quindi non vi è alcun effetto di rotazione. Fonte: F. Zapata.

Matematicamente la coppia τ è definita come il prodotto vettoriale o prodotto incrociato tra i vettori r (vettore di posizione) e F (vettore di forza) di figura 5:

τ = r x F

L'entità della coppia è:

τ = r F sin θ

Θ è l'angolo tra r e F . Quando sin θ = 0 la coppia è zero, in questo caso θ = 0º (o anche 180º).

Flusso del campo elettrico

Il flusso del campo elettrico è una quantità scalare che dipende dall'intensità del campo elettrico e dall'orientamento della superficie attraverso la quale passa.

In figura 6 è una superficie circolare di area A attraverso il quale il elettrica linee di campo E passaggio . L'orientamento della superficie è dato dal vettore normale n . A sinistra il campo e il vettore normale formano un angolo acuto arbitrario θ, al centro formano un angolo nullo l'uno con l'altro ea destra sono perpendicolari.

Quando E ed n sono perpendicolari, le linee di campo non attraversano la superficie e quindi il flusso è zero, mentre quando l'angolo tra E ed n è zero, le linee attraversano completamente la superficie.

Denotando il flusso del campo elettrico con la lettera greca Φ (leggi "fi"), la sua definizione di campo uniforme come nella figura, ha questo aspetto:

Φ = E • n LA

Il punto al centro di entrambi i vettori denota il prodotto scalare o il prodotto scalare, che in alternativa è definito come segue:

Φ = E • n LA = EAcosθ

Il grassetto e le frecce sopra la lettera sono risorse per distinguere tra un vettore e la sua grandezza, che è indicata da lettere normali. Poiché cos 0 = 1, il flusso è massimo quando E e n sono paralleli.

Figura 6. Il flusso del campo elettrico dipende dall'orientamento tra la superficie e il campo elettrico. Fonte: F. Zapata.

esercizi

- Esercizio 1

Due forze P e Q agiscono simultaneamente su un oggetto punto X, entrambe le forze inizialmente formano un angolo θ tra di loro. Cosa succede alla grandezza della forza risultante quando θ diminuisce a zero?

Figura 7. L'angolo tra due forze che agiscono su un corpo diminuisce fino a quando non viene annullato, nel qual caso l'entità della forza risultante acquisisce il suo valore massimo. Fonte: F. Zapata.

Soluzione

L'entità della forza risultante Q + P aumenta gradualmente fino a raggiungere il massimo quando Q e P sono completamente paralleli (figura 7 a destra).

- Esercizio 2

Indicare se l'angolo nullo è una soluzione della seguente equazione trigonometrica:

Soluzione

Un'equazione trigonometrica è quella in cui l'ignoto è parte dell'argomento di un rapporto trigonometrico. Per risolvere l'equazione proposta, è conveniente utilizzare la formula per il coseno del doppio angolo:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Perché in questo modo, l'argomento a sinistra diventa x invece di 2x. Così:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

D'altra parte cos ² x + sin ² x = 1, quindi:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Il termine cos ² x annulla e rimane:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Ora viene apportata la seguente modifica alla variabile: sinx = u e l'equazione diventa:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Le cui soluzioni sono: u = 0 eu = -4. Restituendo la modifica avremmo due possibilità: sin x = 0 e sinx = -4. Quest'ultima soluzione non è praticabile, perché il seno di qualsiasi angolo è compreso tra -1 e 1, quindi ci resta la prima alternativa:

sin x = 0

Quindi x = 0º è una soluzione, ma funziona anche qualsiasi angolo il cui seno è 0, che può essere anche 180º (π radianti), 360º (2 π radianti) e anche i rispettivi negativi.

La soluzione più generale dell'equazione trigonometrica è: x = kπ dove k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k un numero intero.

Riferimenti

1. Baldor, A. 2004. Plane and Space Geometry with Trigonometry. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Serie: Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 3. Sistemi di particelle. A cura di Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 5. Interazione elettrica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Tipi di angoli. Estratto da: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, trigonometria e geometria analitica. McGraw Hill Interamericana.