L' angolo inscritto di un cerchio è quello che ha il suo vertice sul cerchio ei suoi raggi sono secanti o tangenti ad esso. Di conseguenza l'angolo inscritto sarà sempre convesso o piatto.
Nella figura 1 sono rappresentati diversi angoli inscritti nelle rispettive circonferenze. L'angolo ∠EDF è inscritto avendo il suo vertice D sulla circonferenza e i suoi due raggi =.
In un triangolo isoscele, gli angoli adiacenti alla base sono uguali, quindi ∠BCO = ∠ABC = α. D'altra parte ∠COB = 180º - β.
Considerando la somma degli angoli interni del triangolo COB, abbiamo:
α + α + (180º - β) = 180º
Da cui segue che 2 α = β, o quanto è equivalente: α = β / 2. Ciò concorda con quanto afferma il teorema 1: la misura dell'angolo inscritto è la metà dell'angolo centrale, se entrambi gli angoli sottendono la stessa corda.
Dimostrazione 1b
Figura 6. Costruzione ausiliaria per mostrare che α = β / 2. Fonte: F. Zapata con Geogebra.
In questo caso abbiamo un angolo inscritto ∠ABC, in cui il centro O del cerchio è all'interno dell'angolo.
Per dimostrare il Teorema 1 in questo caso, disegna il raggio ausiliario) .push ({});
Analogamente, gli angoli centrali β 1 e β 2 sono adiacenti a detto raggio. Così abbiamo la stessa situazione come esposizione 1a, quindi si può dire che α 2 = β 2 /2 e alfa 1 = β 1 /2. Come α = α 1 + α 2 e β = β 1 + β 2 hanno pertanto che α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / Due.
In conclusione α = β / 2, che soddisfa il teorema 1.
- Teorema 2
Figura 7. Angoli inscritti di uguale misura α, perché sottendono lo stesso arco A⌒C. Fonte: F. Zapata con Geogebra.
- Teorema 3
Gli angoli inscritti che sottendono accordi della stessa misura sono uguali.
Figura 8. Gli angoli inscritti che sottendono accordi di uguale misura hanno uguale misura β. Fonte: F. Zapata con Geogebra.
Esempi
- Esempio 1
Mostra che l'angolo inscritto che sottende il diametro è un angolo retto.
Soluzione
L'angolo centrale ∠AOB associato al diametro è un angolo piano, la cui misura è 180º.
Secondo il teorema 1, ogni angolo inscritto nella circonferenza che sottende la stessa corda (in questo caso il diametro), ha come misura la metà dell'angolo centrale che sottende la stessa corda, che per il nostro esempio è 180º / 2 = 90º.
Figura 9. Ogni angolo inscritto che sottende al diametro è un angolo retto. Fonte: F. Zapata con Geogebra.
- Esempio 2
La linea (BC) tangente in A alla circonferenza C, determina l'angolo inscritto ∠BAC (vedi figura 10).
Verifica che il Teorema 1 degli angoli inscritti sia soddisfatto.
Figura 10. Angolo inscritto BAC e suo angolo convesso centrale AOA. Fonte: F. Zapata con Geogebra.
Soluzione
L'angolo ∠BAC è inscritto perché il suo vertice è sulla circonferenza, ei suoi lati [AB) e [AC) sono tangenti alla circonferenza, quindi la definizione dell'angolo inscritto è soddisfatta.
D'altra parte, l'angolo inscritto ∠BAC sottende l'arco A⌒A, che è l'intera circonferenza. L'angolo centrale che sottende l'arco A⌒A è un angolo convesso la cui misura è l'angolo pieno (360º).
L'angolo inscritto che sottende l'intero arco misura metà dell'angolo centrale associato, cioè ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Con tutto quanto sopra, si verifica che questo caso particolare soddisfi il Teorema 1.
Riferimenti
- Baldor. (1973). Geometria e trigonometria. Casa editrice culturale centroamericana.
- EA (2003). Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
- Geometria 1 ° ESO. Angoli sulla circonferenza. Estratto da: edu.xunta.es/
- Tutta la scienza. Proposto esercizi di angoli nella circonferenza. Estratto da: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Angolo inscritto. Estratto da: es.wikipedia.com