MODULO DI YOUNG: CALCOLO, APPLICAZIONI, ESEMPI, ESERCIZI - FISICO - 2026

Il modulo di Young o modulo elastico è la costante che mette in relazione la trazione o la compressione con il rispettivo aumento o diminuzione della lunghezza avendo l'oggetto sotto queste forze.

Le forze esterne applicate agli oggetti non solo possono cambiare il loro stato di movimento, ma sono anche in grado di cambiare la loro forma o addirittura romperli o fratturarli.

Figura 1. I movimenti del gatto sono pieni di elasticità e grazia. Fonte: Pixabay.

Il modulo di Young viene utilizzato per studiare i cambiamenti prodotti in un materiale quando una forza di trazione o compressione viene applicata esternamente. È molto utile in materie come ingegneria o architettura.

Il modello deve il suo nome allo scienziato britannico Thomas Young (1773-1829), che fu colui che eseguì studi sui materiali proponendo una misura della rigidità dei diversi materiali.

Qual è il modello di Young?

Il modello di Young è una misura della rigidità. Nei materiali con bassa rigidità (rosso) c'è una maggiore deformazione sotto un carico di estensione o compressione. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Quanto può essere deformato un oggetto? Questo è qualcosa che gli ingegneri spesso vogliono sapere. La risposta dipenderà dalle proprietà del materiale e dalle dimensioni che ha.

Ad esempio, puoi confrontare due barre in alluminio con dimensioni diverse. Ciascuno ha un'area e una lunghezza della sezione trasversale differenti ed entrambi sono soggetti alla stessa forza di trazione.

Il comportamento previsto sarà il seguente:

- Maggiore è lo spessore (sezione trasversale) della barra, minore è l'allungamento.

- Più lunga è la lunghezza iniziale, maggiore sarà l'allungamento finale.

Questo ha senso, perché dopo tutto l'esperienza dimostra che cercare di deformare un elastico non è la stessa cosa che provare a farlo con un'asta d'acciaio.

Un parametro chiamato modulo di elasticità del materiale è un'indicazione della sua risposta elastica.

Come viene calcolato?

Essendo un medico, Young voleva conoscere il ruolo dell'elasticità delle arterie nel buon andamento della circolazione sanguigna. Dalle sue esperienze ha concluso la seguente relazione empirica:

È possibile rappresentare graficamente il comportamento di un materiale sotto l'applicazione di sollecitazioni, come mostrato nella figura seguente.

Figura 2. Grafico della tensione rispetto alla deformazione per un materiale. Fonte: autocostruito.

Dall'origine al punto A

Nella prima sezione, che va dall'origine al punto A, il grafico è una linea retta. La legge di Hooke è valida lì:

F = kx

Dove F è l'entità della forza che riporta il materiale al suo stato originale, x è la deformazione da esso subita e k è una costante che dipende dall'oggetto sottoposto alla sollecitazione.

Le deformazioni qui considerate sono piccole e il comportamento è perfettamente elastico.

Da A a B

Da A a B il materiale si comporta anche elasticamente, ma la relazione tra sollecitazione e deformazione non è più lineare.

Da B a C

Tra i punti B e C, il materiale subisce una deformazione permanente, non potendo tornare allo stato originale.

Da C

Se il materiale continua ad allungarsi dal punto C, alla fine si rompe.

Matematicamente, le osservazioni di Young possono essere riassunte come segue:

Stress ∝ Strain

Dove la costante di proporzionalità è proprio il modulo di elasticità del materiale:

Stress = Modulo di elasticità x deformazione

Esistono molti modi per deformare i materiali. I tre tipi più comuni di stress a cui è sottoposto un oggetto sono:

- Tensione o stiramento.

- Compressione.

- Taglia o cesoia.

Una delle sollecitazioni a cui i materiali sono comunemente soggetti, ad esempio nelle costruzioni civili o nelle parti automobilistiche, è la trazione.

formule

Quando un oggetto di lunghezza L viene allungato o messo in tensione, viene sottoposto ad una trazione che ne provoca una variazione della lunghezza. Un diagramma di questa situazione è rappresentato in figura 3.

Ciò richiede che una forza di grandezza F sia applicata per unità di area alle sue estremità, per provocare l'allungamento, in modo tale che la sua nuova lunghezza diventi L + DL.

Lo sforzo fatto per deformare l'oggetto sarà proprio questa forza per unità di area, mentre la deformazione sperimentata è ΔL / L.

Figura 3. Un oggetto sottoposto a trazione o allungamento subisce un allungamento. Fonte: autocostruito.

Indicare il modulo di Young come Y, e secondo quanto sopra:

La risposta sta nel fatto che la deformazione indica la deformazione relativa rispetto alla lunghezza originale. Non è la stessa cosa che una barra di 1 m si allunga o si restringe di 1 cm, poiché una struttura lunga 100 metri si deforma ugualmente di 1 cm.

Per il corretto funzionamento di parti e strutture, esiste una tolleranza riguardo alle deformazioni relative ammissibili.

Equazione per calcolare la deformazione

Se l'equazione di cui sopra viene analizzata come segue:

- Maggiore è l'area della sezione trasversale, minore è la deformazione.

- Maggiore è la lunghezza, maggiore è la deformazione.

- Maggiore è il modulo di Young, minore è la deformazione.

Le unità di sollecitazione corrispondono a newton / metro quadrato (N / m ² ). Sono anche le unità di pressione, che nel Sistema Internazionale portano il nome di Pascal. La deformazione ΔL / L, invece, è adimensionale perché è il quoziente tra due lunghezze.

Le unità del sistema inglese sono lb / in ² e sono anche usate molto frequentemente. Il fattore di conversione per passare dall'uno all'altro è: 14,7 lb / in ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

Questo fa sì che il modulo di Young abbia anche unità di pressione. Infine, l'equazione di cui sopra può essere espressa per risolvere per Y:

Nella scienza dei materiali, la risposta elastica di questi a vari sforzi è importante per selezionare il più adatto per ciascuna applicazione, sia che si tratti di produrre un'ala di aeroplano o un cuscinetto automobilistico. Le caratteristiche del materiale da utilizzare sono determinanti nella risposta che ci si aspetta da esso.

Per scegliere il materiale migliore è necessario conoscere le sollecitazioni a cui sarà sottoposto un determinato pezzo; e di conseguenza selezionare il materiale che ha le proprietà più in linea con il design.

Ad esempio, l'ala di un aereo deve essere forte, leggera e in grado di flettersi. I materiali utilizzati nella costruzione degli edifici devono resistere in larga misura ai movimenti sismici, ma devono anche avere una certa flessibilità.

Gli ingegneri che progettano le ali degli aeroplani, e anche quelli che scelgono i materiali da costruzione, devono fare uso di grafici sforzo-deformazione come quello mostrato nella Figura 2.

Le misurazioni per determinare le proprietà elastiche più rilevanti di un materiale possono essere eseguite in laboratori specializzati. Esistono quindi prove standardizzate a cui vengono sottoposti i campioni, a cui vengono applicate varie sollecitazioni e vengono poi misurate le deformazioni risultanti.

Esempi

Come già accennato in precedenza, Y non dipende dalle dimensioni o dalla forma dell'oggetto, ma dalle caratteristiche del materiale.

Un'altra nota molto importante: affinché l'equazione data sopra sia applicabile, il materiale deve essere isotropo, cioè le sue proprietà devono rimanere invariate per tutto il tempo.

Non tutti i materiali sono isotropi: ci sono quelli la cui risposta elastica dipende da determinati parametri direzionali.

La deformazione analizzata nei segmenti precedenti è solo una delle tante a cui può essere sottoposto un materiale. Ad esempio, in termini di sollecitazione di compressione, è l'opposto della sollecitazione di trazione.

Le equazioni fornite si applicano a entrambi i casi ei valori di Y sono quasi sempre gli stessi (materiali isotropi).

Un'eccezione degna di nota è il cemento o il cemento, che resiste alla compressione meglio della trazione. Pertanto, deve essere rinforzato quando è richiesta resistenza allo stiramento. L'acciaio è il materiale indicato per questo, in quanto resiste molto bene allo stiramento o alla trazione.

Esempi di strutture sottoposte a stress includono colonne e archi di edifici, elementi di costruzione classici in molte civiltà antiche e moderne.

Figura 4. Il Pont Julien, una costruzione romana del 3 aC nel sud della Francia.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Un filo di acciaio lungo 2,0 m in uno strumento musicale ha un raggio di 0,03 mm. Quando il cavo è sotto una tensione di 90 N: quanto cambia la sua lunghezza? Dati: il modulo di Young dell'acciaio è 200 x 10 ⁹ N / m ²

Soluzione

È necessario calcolare l'area della sezione trasversale A = πR ² = π. (0,03 x ^10-3 m) ² = 2,83 x ^10-9 m ²

Lo stress è lo stress per unità di area:

Poiché la corda è sotto tensione, significa che si allunga.

La nuova lunghezza è L = L _o + DL, dove L _o è la lunghezza iniziale:

L = 2,32 m

Esercizio 2

Una colonna di marmo, la cui area della sezione trasversale è di 2,0 m ^2, sostiene una massa di 25.000 kg. Trova:

a) Lo sforzo nella colonna vertebrale.

b) Filtrare.

c) Quanto è più corta la colonna se la sua altezza è di 12 m?

Soluzione

a) Lo sforzo in colonna è dovuto al peso dei 25000 kg:

P = mg = 25000 kg x 9,8 m / s ² = 245.000 N

Quindi lo sforzo è:

b) La deformazione è ΔL / L:

c) ΔL è la variazione della lunghezza, data da:

ΔL = 2,45 x ^10-6 x 12 m = 2,94 x10 ^-5 m = 0,0294 mm.

La colonna di marmo non dovrebbe ridursi in modo significativo. Si noti che sebbene il modulo di Young sia inferiore nel marmo rispetto all'acciaio e che la colonna supporti anche una forza molto maggiore, la sua lunghezza quasi non varia.

D'altra parte, nella corda dell'esempio precedente la variazione è molto più apprezzabile, sebbene l'acciaio abbia un modulo di Young molto più elevato.

La sua ampia area della sezione trasversale interviene nel pilastro, e quindi è molto meno deformabile.

A proposito di Thomas Young

1822 ritratto di Thomas Young. Thomas Lawrence / Dominio pubblico

Il modulo di elasticità prende il nome da Thomas Young (1773-1829), un versatile scienziato britannico che diede un grande contributo alla scienza in molte aree.

Come fisico, Young non solo ha studiato la natura ondulatoria della luce, rivelata dal famoso esperimento della doppia fenditura, ma è stato anche un medico, un linguista e ha anche contribuito a decifrare alcuni dei geroglifici egizi sulla famosa pietra di Rosetta.

Era un membro della Royal Society, della Royal Swedish Academy of Sciences, dell'American Academy of Arts and Sciences o dell'Accademia francese delle scienze, tra le altre nobili istituzioni scientifiche.

Va però notato che il concetto di modello era stato precedentemente sviluppato da Leonhar Euler (1707-1873), e che scienziati come Giordano Riccati (1709-1790) avevano già realizzato un esperimento che avrebbe messo in pratica il modello di Young. .

Riferimenti

1. Bauer, W. 2011. Fisica per l'ingegneria e le scienze. Volume 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Fisica: principi con applicazioni. Sesta edizione. Prentice Hall. 238-249.