METODO ASSIOMATICO: CARATTERISTICHE, PASSAGGI, ESEMPI - VOCABOLARIO CULTURALE - 2026

Il metodo assiomatico o anche detto assiomatica è un procedimento formale utilizzato dalle scienze mediante il quale vengono formulate affermazioni o proposizioni chiamate assiomi, collegate tra loro da una relazione di deducibilità e che sono alla base delle ipotesi o condizioni di un certo sistema.

Questa definizione generale deve essere inquadrata nell'evoluzione che questa metodologia ha avuto nel corso della storia. In primo luogo, esiste un metodo antico o contenuto, nato nell'antica Grecia da Euclide e successivamente sviluppato da Aristotele.

In secondo luogo, già nel XIX secolo, la comparsa di una geometria con assiomi diversi da quelli di Euclide. E infine, il metodo assiomatico formale o moderno, il cui massimo esponente era David Hilbert.

Al di là del suo sviluppo nel tempo, questo procedimento è stato alla base del metodo deduttivo, essendo utilizzato nella geometria e nella logica in cui ha avuto origine. È stato utilizzato anche in fisica, chimica e biologia.

Ed è stato persino applicato all'interno della scienza giuridica, della sociologia e dell'economia politica. Tuttavia, attualmente la sua sfera di applicazione più importante è la matematica e la logica simbolica e alcuni rami della fisica come la termodinamica, la meccanica, tra le altre discipline.

caratteristiche

Sebbene la caratteristica fondamentale di questo metodo sia la formulazione di assiomi, questi non sono sempre stati considerati allo stesso modo.

Ce ne sono alcuni che possono essere definiti e costruiti in modo arbitrario. E altri, secondo un modello in cui la sua verità garantita è intuitivamente considerata.

Per capire nello specifico in cosa consiste questa differenza e le sue conseguenze, è necessario passare attraverso l'evoluzione di questo metodo.

Metodo assiomatico antico o contenuto

È quello stabilito nell'antica Grecia verso il V secolo a.C. Il suo ambito di applicazione è la geometria. L'opera fondamentale di questa fase sono gli Elementi di Euclide, anche se si ritiene che prima di lui Pitagora avesse già partorito il metodo assiomatico.

Così i greci prendono certi fatti come assiomi, senza richiedere alcuna prova logica, cioè senza bisogno di prove, poiché per loro sono una verità autoevidente.

Da parte sua, Euclide presenta cinque assiomi per la geometria:

1-Dati due punti c'è una linea che li contiene o li unisce.

2-Qualsiasi segmento può essere esteso continuamente in una linea illimitata su entrambi i lati.

3-Puoi disegnare un cerchio che ha un centro in qualsiasi punto e con qualsiasi raggio.

4-Gli angoli retti sono tutti uguali.

5-Prendendo una qualsiasi linea retta e qualsiasi punto che non sia in essa, c'è una linea retta parallela ad essa e che contiene quel punto. Questo assioma è noto, più tardi, come l'assioma delle parallele ed è stato anche enunciato come: un singolo parallelo può essere tracciato da un punto esterno a una linea.

Tuttavia, sia Euclide che i matematici successivi concordano sul fatto che il quinto assioma non è così intuitivo come gli altri 4. Anche durante il Rinascimento, si tenta di dedurre il quinto dagli altri 4, ma non è possibile.

Ciò ha fatto sì che già nel XIX secolo coloro che sostenevano i cinque fossero a favore della geometria euclidea e quelli che negavano la quinta, erano coloro che creavano le geometrie non euclidee.

Metodo assiomatico non euclideo

Sono proprio Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai e Johann Karl Friedrich Gauss che vedono la possibilità di costruire, senza contraddizioni, una geometria che proviene da sistemi di assiomi diversi da quelli di Euclide. Questo distrugge la fede nella verità assoluta o a priori degli assiomi e delle teorie che ne derivano.

Di conseguenza, gli assiomi iniziano a essere concepiti come punti di partenza per una data teoria. Inoltre, sia la sua scelta che il problema della sua validità in un senso o nell'altro iniziano ad essere collegati a fatti al di fuori della teoria assiomatica.

In questo modo, le teorie geometriche, algebriche e aritmetiche appaiono costruite con il metodo assiomatico.

Questa fase culmina nella creazione di sistemi assiomatici per l'aritmetica come quello di Giuseppe Peano nel 1891; La geometria di David Hubert nel 1899; le dichiarazioni ei calcoli dei predicati di Alfred North Whitehead e Bertrand Russell, in Inghilterra nel 1910; La teoria assiomatica degli insiemi di Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo nel 1908.

Metodo assiomatico moderno o formale

È David Hubert che inizia la concezione di un metodo assiomatico formale e che porta al suo culmine, David Hilbert.

È proprio Hilbert che formalizza il linguaggio scientifico, considerando le sue affermazioni come formule o sequenze di segni privi di significato in sé. Acquisiscono significato solo in una certa interpretazione.

In "I fondamenti della geometria" spiega il primo esempio di questa metodologia. Da qui in poi, la geometria diventa una scienza di pure conseguenze logiche, che vengono estratte da un sistema di ipotesi o assiomi, meglio articolato del sistema euclideo.

Questo perché nel sistema antico la teoria assiomatica si basa sull'evidenza degli assiomi. Mentre nel fondamento della teoria formale è dato dalla dimostrazione della non contraddizione dei suoi assiomi.

passi

La procedura che attua una strutturazione assiomatica all'interno delle teorie scientifiche riconosce:

a-la scelta di un certo numero di assiomi, cioè un numero di proposizioni di una certa teoria che vengono accettate senza bisogno di essere dimostrate.

b-i concetti che fanno parte di queste proposizioni non sono determinati nell'ambito della teoria data.

c-le regole di definizione e deduzione della teoria data sono stabilite e consentono l'introduzione di nuovi concetti all'interno della teoria e deducono logicamente alcune proposizioni da altre.

d-le altre proposizioni della teoria, cioè il teorema, sono dedotte da a sulla base di c.

Esempi

Questo metodo può essere verificato attraverso la dimostrazione dei due teoremi di Euclide più noti: il teorema delle gambe e il teorema dell'altezza.

Entrambi derivano dall'osservazione di questo geometra greco che quando l'altezza rispetto all'ipotenusa è tracciata all'interno di un triangolo rettangolo, compaiono altri due triangoli dell'originale. Questi triangoli sono simili tra loro e allo stesso tempo simili al triangolo di origine. Ciò presuppone che i rispettivi lati omologhi siano proporzionali.

Si può vedere che gli angoli congruenti nei triangoli in questo modo verificano la somiglianza che esiste tra i tre triangoli coinvolti secondo il criterio di similarità AAA. Questo criterio sostiene che quando due triangoli hanno tutti gli stessi angoli sono simili.

Una volta dimostrato che i triangoli sono simili, è possibile stabilire le proporzioni specificate nel primo teorema. La stessa affermazione che in un triangolo rettangolo, la misura di ciascuna gamba è la media proporzionale geometrica tra l'ipotenusa e la proiezione della gamba su di essa.

Il secondo teorema è quello dell'altezza. Si specifica che qualsiasi triangolo rettangolo l'altezza che si disegna secondo l'ipotenusa è la media proporzionale geometrica tra i segmenti che sono determinati da detta media geometrica sull'ipotenusa.

Naturalmente, entrambi i teoremi hanno numerose applicazioni in tutto il mondo non solo nell'insegnamento, ma anche nell'ingegneria, nella fisica, nella chimica e nell'astronomia.

Riferimenti

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