- Quali sono le dimensioni?
- Spazio tridimensionale
- La quarta dimensione e il tempo
- Le coordinate di un ipercubo
- Apertura di un ipercubo
- Riferimenti
Un ipercubo è un cubo di dimensione n. Il caso particolare dell'ipercubo quadridimensionale è chiamato tesseract. Un ipercubo o n-cubo è costituito da segmenti retti, tutti di uguale lunghezza ortogonali ai vertici.
Gli esseri umani percepiscono lo spazio tridimensionale: larghezza, altezza e profondità, ma non è possibile per noi visualizzare un ipercubo con una dimensione maggiore di 3.
Figura 1. Un cubo 0 è un punto, se quel punto si estende in una direzione una distanza a forma un cubo 1, se quel cubo 1 si estende una distanza a nella direzione ortogonale abbiamo un cubo 2 (da lati da x ad a), se il 2-cubo si estende per una distanza a nella direzione ortogonale abbiamo un 3-cubo. Fonte: F. Zapata.
Al massimo possiamo farne delle proiezioni nello spazio tridimensionale per rappresentarlo, in modo simile a come proiettiamo un cubo su un piano per rappresentarlo.
Nella dimensione 0 l'unica cifra è il punto, quindi un cubo 0 è un punto. Un cubo 1 è un segmento retto, che si forma spostando un punto in una direzione a una distanza a.
Da parte sua, un 2-cubo è un quadrato. È costruito spostando il 1-cubo (il segmento di lunghezza a) nella direzione y, che è ortogonale alla direzione x, una distanza a.
Il 3-cubo è il cubo comune. Viene costruito dal quadrato spostandolo nella terza direzione (z), che è ortogonale alle direzioni xey, una distanza a.
Figura 2. Un 4-cubo (tesseract) è l'estensione di un 3-cubo nella direzione ortogonale alle tre direzioni spaziali convenzionali. Fonte: F. Zapata.
Il 4-cubo è il tesseract, che è costruito da un 3-cubo spostandolo ortogonalmente, di una distanza a, verso una quarta dimensione (o quarta direzione), che non possiamo percepire.
Un tesseract ha tutti i suoi angoli retti, ha 16 vertici e tutti i suoi bordi (18 in tutto) hanno la stessa lunghezza a.
Se la lunghezza dei bordi di un n-cubo o ipercubo di dimensione n è 1, allora è un ipercubo unitario, in cui la diagonale più lunga misura √n.
Figura 3. Un n-cubo è ottenuto da un (n-1) -cubo che lo estende ortogonalmente nella dimensione successiva. Fonte: wikimedia commons.
Quali sono le dimensioni?
Le dimensioni sono i gradi di libertà o le possibili direzioni in cui un oggetto può muoversi.
Nella dimensione 0 non c'è possibilità di traslare e l'unico oggetto geometrico possibile è il punto.
Una dimensione nello spazio euclideo è rappresentata da una linea o asse orientato che definisce quella dimensione, chiamata asse X. La separazione tra due punti A e B è la distanza euclidea:
d = √.
In due dimensioni, lo spazio è rappresentato da due linee orientate ortogonali tra loro, chiamate asse X e asse Y.
La posizione di qualsiasi punto in questo spazio bidimensionale è data dalla sua coppia di coordinate cartesiane (x, y) e la distanza tra due punti qualsiasi A e B sarà:
d = √
Perché è uno spazio in cui si compie la geometria di Euclide.
Spazio tridimensionale
Lo spazio tridimensionale è lo spazio in cui ci muoviamo. Ha tre direzioni: larghezza, altezza e profondità.
In una stanza vuota gli angoli perpendicolari danno queste tre direzioni e ad ognuna possiamo associare un asse: X, Y, Z.
Anche questo spazio è euclideo e la distanza tra due punti A e B è calcolata come segue:
d = √
Gli esseri umani non possono percepire più di tre dimensioni spaziali (o euclidee).
Tuttavia, da un punto di vista strettamente matematico è possibile definire uno spazio euclideo n-dimensionale.
In questo spazio un punto ha coordinate: (x1, x2, x3,… .., xn) e la distanza tra due punti è:
d = √.
La quarta dimensione e il tempo
In effetti, nella teoria della relatività, il tempo è trattato come una dimensione in più e ad esso è associata una coordinata.
Ma è necessario chiarire che questa coordinata associata al tempo è un numero immaginario. Quindi la separazione di due punti o eventi nello spazio-tempo non è euclidea, ma segue piuttosto la metrica di Lorentz.
Un ipercubo quadridimensionale (il tesseratto) non vive nello spazio-tempo, appartiene a un iper-spazio euclideo quadridimensionale.
Figura 4. Proiezione 3D di un ipercubo quadridimensionale in semplice rotazione attorno a un piano che divide la figura da davanti a sinistra, da dietro a destra e dall'alto in basso. Fonte: Wikimedia Commons.
Le coordinate di un ipercubo
Le coordinate dei vertici di un n-cubo centrato all'origine si ottengono facendo tutte le possibili permutazioni della seguente espressione:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Dove a è la lunghezza del bordo.
-Il volume di un n-cubo di bordo a è: (a / 2) n (2 n ) = a n .
-La diagonale più lunga è la distanza tra i vertici opposti.
-I seguenti sono vertici opposti in un quadrato : (-1, -1) e (+1, +1).
-E in un cubo : (-1, -1, -1) e (+1, +1, +1).
-La diagonale più lunga di un n-cubo misura:
d = √ = √ = 2√n
In questo caso si è supposto che il lato fosse a = 2. Per un n-cubo di lato a qualsiasi sarà:
d = a√n.
-Un tesseract ha ciascuno dei suoi 16 vertici collegati a quattro bordi. La figura seguente mostra come i vertici sono collegati in un tesseract.
Figura 5. Vengono mostrati i 16 vertici di un ipercubo quadridimensionale e come sono collegati. Fonte: Wikimedia Commons.
Apertura di un ipercubo
Una figura geometrica regolare, ad esempio un poliedro, può essere spiegata in diverse figure dimensionali più piccole.
Nel caso di un 2 cubo (un quadrato) può essere diviso in quattro segmenti, cioè quattro 1 cubo.
Allo stesso modo un 3 cubo può essere dispiegato in sei 2 cubi.
Figura 6. Un n-cubo può essere dispiegato in diversi (n-1) -cubi. Fonte: Wikimedia Commons.
Un 4 cubo (tesseract) può essere dispiegato in otto 3 cubi.
La seguente animazione mostra lo spiegamento di un tesseract.
Figura 7. Un ipercubo quadridimensionale può essere dispiegato in otto cubi tridimensionali. Fonte: Wikimedia Commons.
Figura 8. Proiezione tridimensionale di un ipercubo quadridimensionale che esegue una doppia rotazione attorno a due piani ortogonali. Fonte: Wikimedia Commons.
Riferimenti
- Cultura scientifica. Hypercube, che visualizza la quarta dimensione. Estratto da: culturacientifica.com
- Epsilon. Ipercubo quadridimensionale o tesseratto. Estratto da: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Un metodo per ottenere un tesseract dallo sviluppo di un ipercubo (4D). Estratto da: researchgate.net
- Wikibooks. Matematica, poliedri, ipercubi. Recupero da: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Estratto da: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Estratto da: en.wikipedia.com