EPTADECAGONO: PROPRIETÀ, DIAGONALI, PERIMETRO, AREA - MATEMATICA - 2024

L' eptadecagono è un poligono regolare con 17 lati e 17 vertici. La sua costruzione può essere eseguita in stile euclideo, cioè utilizzando solo il righello e il compasso. Fu il grande genio matematico Carl Friedrich Gauss (1777-1855), appena 18enne, che trovò il procedimento per la sua costruzione nel 1796.

A quanto pare, Gauss è sempre stato molto incline a questa figura geometrica, a tal punto che dal giorno in cui ha scoperto la sua costruzione ha deciso di essere un matematico. Si dice anche che volesse che l'eptadecagono fosse inciso sulla sua lapide.

Figura 1. L'eptadecagono è un poligono regolare con 17 lati e 17 vertici. Fonte: F. Zapata.

Gauss ha anche trovato la formula per determinare quali poligoni regolari hanno la possibilità di essere costruiti con righello e compasso, poiché alcuni non hanno una costruzione euclidea esatta.

Caratteristiche dell'eptadecagono

Per quanto riguarda le sue caratteristiche, come ogni poligono, è importante la somma dei suoi angoli interni. In un poligono regolare con n lati, la somma è data da:

Questa somma, espressa in radianti, è simile a questa:

Dalle formule precedenti si può facilmente dedurre che ogni angolo interno di un eptadecagono ha una misura esatta α data da:

Ne consegue che l'angolo interno approssimativamente è:

Diagonali e perimetro

Diagonali e perimetro sono altri aspetti importanti. In ogni poligono il numero di diagonali è:

D = n (n - 3) / 2 e nel caso dell'eptadecagono, come n = 17, abbiamo allora che D = 119 diagonali.

D'altra parte, se la lunghezza di ciascun lato dell'eptadecagono è nota, allora il perimetro dell'eptadecagono regolare si trova semplicemente aggiungendo 17 volte quella lunghezza, o ciò che è equivalente a 17 volte la lunghezza d di ciascun lato:

P = 17 d

Perimetro dell'eptadecagono

A volte è noto solo il raggio r dell'eptadecagono, quindi è necessario sviluppare una formula per questo caso.

A tal fine viene introdotto il concetto di apotema. L'apotema è il segmento che va dal centro del poligono regolare al punto medio di un lato. L'apotema relativo a un lato è perpendicolare a quel lato (vedi figura 2).

Figura 2. Sono mostrate le parti di un poligono regolare con raggio r e il suo apotema. (Elaborazione propria)

Inoltre l'apotema è una bisettrice dell'angolo con vertice centrale e lati su due vertici consecutivi del poligono, questo ci permette di trovare una relazione tra il raggio r e il lato d.

Se l'angolo centrale DOE è chiamato β e tenendo conto che l'apotema OJ è una bisettrice, abbiamo EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), da cui abbiamo una relazione per trovare la lunghezza d del lato di un poligono noto il suo raggio r e il suo angolo centrale β:

d = 2 r Sen (β / 2)

Nel caso dell'eptadecagono β = 360º / 17, abbiamo:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Infine si ottiene la formula per il perimetro dell'eptadecagono, noto il suo raggio:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

Il perimetro di un eptadecagono è vicino al perimetro della circonferenza che lo circonda, ma il suo valore è più piccolo, cioè il perimetro del cerchio circoscritto è Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

La zona

Per determinare l'area dell'eptadecagono faremo riferimento alla Figura 2, che mostra i lati e l'apotema di un poligono regolare con n lati. In questa figura il triangolo EOD ha un'area uguale alla base d (lato del poligono) volte l'altezza a (apotema del poligono) diviso 2:

Area EOD = (dxa) / 2

Quindi, conoscendo l'apotema a dell'eptadecagono e il lato d dello stesso, la sua area è:

Area dell'eptadecagono = (17/2) (dxa)

Area data il lato

Per ottenere una formula dell'area dell'eptadecagono conoscendo la lunghezza dei suoi diciassette lati, è necessario ottenere una relazione tra la lunghezza dell'apotema a e il lato d.

Con riferimento alla figura 2, si ottiene la seguente relazione trigonometrica:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, dove β è l'angolo centrale DOE. Quindi l'apotema a può essere calcolato se la lunghezza d del lato del poligono e l'angolo centrale β sono noti:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Se questa espressione viene ora sostituita all'apotema, nella formula per l'area dell'eptadecagono ottenuta nella sezione precedente, abbiamo:

Area dell'eptadecagono = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Essendo β = 360º / 17 per l'eptadecagono, abbiamo finalmente la formula desiderata:

Area dell'eptadecagono = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Area dato il raggio

Nelle sezioni precedenti è stata trovata una relazione tra il lato d di un poligono regolare e il suo raggio r, questa relazione è la seguente:

d = 2 r Sen (β / 2)

Questa espressione per d è inserita nell'espressione ottenuta nella sezione precedente per l'area. Se si effettuano le relative sostituzioni e semplificazioni si ottiene la formula che permette di calcolare l'area dell'eptadecagono:

Area dell'eptadecagono = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Un'espressione approssimativa per l'area è:

Area dell'eptadecagono = 3.0706 (r ² )

Come previsto, quest'area è leggermente inferiore all'area del cerchio che circoscrive l'eptadecagono A _circ = π r ² ≈ 3,1416 r ² . Per essere precisi, è del 2% inferiore a quello del suo cerchio circoscritto.

Esempi

Esempio 1

Per rispondere alla domanda è necessario ricordare la relazione tra il lato e il raggio di un poligono regolare n lati:

d = 2 r Sen (180º / n)

Per l'eptadecagono n = 17, così che d = 0,3675 r, cioè il raggio dell'eptadecagono è r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm o

10,8844 cm di diametro.

Il perimetro di un eptadecagono laterale di 2 cm è P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Esempio 2

Dobbiamo fare riferimento alla formula mostrata nella sezione precedente, che ci permette di trovare l'area di un eptadecagono quando ha la lunghezza d del suo lato:

Area dell'eptadecagono = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Sostituendo d = 2 cm nella formula precedente, si ottiene:

Area = 90,94 cm

Riferimenti

1. CEA (2003). Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematica 2. Grupo Editorial Patria.
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5. IGER. (Sf). Matematica Primo semestre Tacaná. IGER.
6. Jr. geometria. (2014). Poligoni. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matematica: ragionamento e applicazioni (decima edizione). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematica 5. Editoriale Progreso.
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10. Wikipedia. Eptadecagono. Estratto da: es.wikipedia.com