- Esempi di grado di un polinomio
- Tabella 1. Esempi di polinomi e loro gradi
- Procedura per lavorare con i polinomi
- Ordina, riduci e completa un polinomio
- Importanza del grado di un polinomio in aggiunta e sottrazione
- Esercizi risolti
- - Esercizio risolto 1
- Soluzione
- - Esercizio risolto 2
- Soluzione
- Riferimenti
Il grado di un polinomio in una variabile è dato dal termine che ha l'esponente maggiore, e se il polinomio ha due o più variabili, allora il grado è determinato dalla somma degli esponenti di ciascun termine, la somma maggiore è il grado del polinomio.
Vediamo come determinare in modo pratico il grado del polinomio.
Figura 1. La famosa equazione di Einstein per l'energia E è un monomio di grado assoluto 1 per la massa variabile, indicata con m, poiché la velocità della luce c è considerata costante. Fonte: Piqsels.
Supponiamo che il polinomio P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 . Questo polinomio è una variabile, in questo caso è la variabile x. Questo polinomio è costituito da diversi termini, che sono i seguenti:
E ora qual è l'esponente? La risposta è 3. Quindi P (x) è un polinomio di grado 3.
Se il polinomio in questione ha più di una variabile, il grado può essere:
-Assoluto
-In relazione a una variabile
Il grado assoluto si trova come spiegato all'inizio: sommando gli esponenti di ogni termine e selezionando il più grande.
Invece il grado del polinomio rispetto a una delle variabili o lettere è il valore più grande dell'esponente che ha detta lettera. Il punto diventerà più chiaro con gli esempi e gli esercizi risolti nelle sezioni seguenti.
Esempi di grado di un polinomio
I polinomi possono essere classificati per grado e possono essere di primo grado, secondo grado, terzo grado e così via. Per l'esempio nella Figura 1, l'energia è un monomio di primo grado per la massa.
È anche importante notare che il numero di termini che ha un polinomio è uguale al grado più 1. Quindi:
-I polinomi di primo grado hanno 2 termini: a 1 x + a o
-Il polinomio di secondo grado ha 3 termini: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Un polinomio di terzo grado ha 4 termini: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a oppure
E così via. Il lettore attento avrà notato che i polinomi negli esempi precedenti sono scritti in forma decrescente, cioè mettendo prima il termine con il grado maggiore.
La tabella seguente mostra vari polinomi, sia di una che di più variabili e dei rispettivi gradi assoluti:
Tabella 1. Esempi di polinomi e loro gradi
| Polinomio | Grado |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | uno |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 e 5 + 5x 2 e 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Gli ultimi due polinomi hanno più di una variabile. Di questi, il termine con il grado assoluto più alto è stato evidenziato in grassetto, in modo che il lettore possa verificare rapidamente il grado. È importante ricordare che quando la variabile non ha un esponente scritto, resta inteso che tale esponente è uguale a 1.
Ad esempio, nel termine evidenziato ab 3 x 2 ci sono tre variabili, vale a dire: a, be x. In questo termine, a viene elevato a 1, ovvero:
a = a 1
Quindi ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Poiché l'esponente di b è 3 e quello di x è 2, ne consegue immediatamente che il grado di questo termine è:
1 + 3 + 2 = 6
Y è il grado assoluto del polinomio, poiché nessun altro termine ha un grado superiore.
Procedura per lavorare con i polinomi
Quando si lavora con i polinomi, è importante prestare attenzione al grado di esso, poiché prima e prima di eseguire qualsiasi operazione, è conveniente seguire questi passaggi, in cui il grado fornisce informazioni molto importanti:
-Ordina il polinomio di preferenza in direzione decrescente. Pertanto, il termine con il grado più alto è a sinistra e il termine con il grado più basso è a destra.
-Ridurre termini simili, procedura che consiste nell'aggiungere algebricamente tutti i termini della stessa variabile e grado trovati nell'espressione.
-Se necessario si completano i polinomi inserendo termini il cui coefficiente è 0, nel caso in cui manchino termini con esponente.
Ordina, riduci e completa un polinomio
Dato il polinomio P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, si chiede di ordine in modo discendente, ridurre simili termini se ve ne sono, e completare i termini mancanti se accurato.
La prima cosa da cercare è il termine con l'esponente più grande, che è il grado del polinomio, che risulta essere:
x 7
Quindi P (x) è di grado 7. Quindi il polinomio è ordinato, a partire da questo termine a sinistra:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7-12
Ora vengono ridotti i termini simili, che sono i seguenti: - 2x e 3x da un lato. E 7 e -12 dall'altro. Per ridurli si sommano algebricamente i coefficienti e la variabile rimane invariata (se la variabile non compare accanto al coefficiente si ricorda che x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7-12 = -5
Sostituisci questi risultati in P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
E infine si esamina il polinomio per vedere se manca qualche esponente e in effetti manca un termine il cui esponente è 6, quindi si completa con zeri in questo modo:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Ora si osserva che il polinomio è rimasto con 8 termini, poiché come detto prima il numero di termini è uguale al grado + 1.
Importanza del grado di un polinomio in aggiunta e sottrazione
Con i polinomi è possibile eseguire operazioni di addizione e sottrazione, in cui vengono aggiunti o sottratti solo termini uguali, che sono quelli con la stessa variabile e lo stesso grado. Se non ci sono termini simili, l'addizione o la sottrazione viene semplicemente indicata.
Effettuata l'addizione o la sottrazione, essendo quest'ultima la somma del contrario, il grado del polinomio risultante è sempre uguale o inferiore al grado del polinomio sommando il grado più alto.
Esercizi risolti
- Esercizio risolto 1
Trova la seguente somma e determinane il grado assoluto:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Soluzione
È un polinomio con due variabili, quindi è conveniente ridurre i termini simili:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Entrambi i termini sono di grado 3 in ciascuna variabile. Pertanto il grado assoluto del polinomio è 3.
- Esercizio risolto 2
Esprimere l'area della figura geometrica piana seguente come polinomio (figura 2 a sinistra). Qual è il grado del polinomio risultante?
Figura 2. A sinistra, la figura per l'esercizio 2 risolto ea destra, la stessa figura scomposta in tre aree di cui si conosce l'espressione. Fonte: F. Zapata.
Soluzione
Poiché è un'area, il polinomio risultante deve essere di grado 2 nella variabile x. Per determinare un'espressione adeguata per l'area, la figura viene scomposta in aree note:
L'area di un rettangolo e di un triangolo sono rispettivamente: base x altezza e base x altezza / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2 ; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Nota : la base del triangolo è 3x - x = 2x e la sua altezza è 5.
Ora si aggiungono le tre espressioni ottenute, con questa abbiamo l'area della figura in funzione di x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Riferimenti
- Baldor, A. 1974. Algebra elementare. Culturale Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikibooks. Polinomi. Estratto da: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Grado (polinomio). Estratto da: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra e trigonometria. Mac Graw Hill.