FRAZIONI PARZIALI: CASI ED ESEMPI - MATEMATICA - 2024

Le frazioni parziali sono frazioni formate da polinomi, in cui il denominatore può essere un polinomio lineare o quadratico e, inoltre, può essere elevato a una certa potenza. A volte, quando abbiamo funzioni razionali, è molto utile riscrivere questa funzione come somma di frazioni parziali o frazioni semplici.

Questo perché in questo modo possiamo manipolare meglio queste funzioni, soprattutto nei casi in cui è necessario integrare detta applicazione. Una funzione razionale è semplicemente il quoziente tra due polinomi e possono essere appropriati o impropri.

Se il grado del polinomio del numeratore è minore del denominatore, si parla di funzione propria razionale; altrimenti, è nota come funzione razionale impropria.

Definizione

Quando abbiamo una funzione razionale impropria, possiamo dividere il polinomio del numeratore per il polinomio del denominatore e quindi riscrivere la frazione p (x) / q (x), seguendo l'algoritmo di divisione come t (x) + s (x) / q (x), dove t (x) è un polinomio e s (x) / q (x) è una funzione razionale propria.

Una frazione parziale è una qualsiasi funzione propria dei polinomi, il cui denominatore è della forma (ax + b) ⁿ o (ax ² + bx + c) ⁿ , se il polinomio ax ² + bx + c non ha radici reali e n è un numero naturale.

Per riscrivere una funzione razionale in frazioni parziali, la prima cosa da fare è fattorizzare il denominatore q (x) come prodotto di fattori lineari e / o quadratici. Fatto ciò, si determinano le frazioni parziali, che dipendono dalla natura di questi fattori.

casi

Consideriamo diversi casi separatamente.

Caso 1

I fattori di q (x) sono tutti lineari e nessuno si ripete. Vale a dire:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ )… (a _s x + b _s )

Nessun fattore lineare è identico a un altro. Quando si verifica questo caso scriveremo:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ )… + A _s / (a _s x + b _s ).

Dove A ₁ , A ₂ ,…, A _s sono le costanti da trovare.

Esempio

Vogliamo scomporre la funzione razionale in semplici frazioni:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Procediamo a fattorizzare il denominatore, ovvero:

x ³ + ³ x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Poi:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Applicando il minimo comune multiplo si può ottenere che:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Vogliamo ottenere i valori delle costanti A, B e C, che possono essere trovati sostituendo le radici che annullano ciascuno dei termini. Sostituendo 0 per x abbiamo:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Sostituendo - 1 per x abbiamo:

- 1-1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Sostituendo - 2 per x abbiamo:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

In questo modo si ottengono i valori A = –1/2, B = 2 e C = –3/2.

Esiste un altro metodo per ottenere i valori di A, B e C.Se a destra dell'equazione x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x combiniamo i termini, abbiamo:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Poiché si tratta di un'uguaglianza di polinomi, abbiamo che i coefficienti sul lato sinistro devono essere uguali a quelli sul lato destro. Ciò si traduce nel seguente sistema di equazioni:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Risolvendo questo sistema di equazioni, otteniamo i risultati A = –1/2, B = 2 e C = -3/2.

Infine, sostituendo i valori ottenuti abbiamo che:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Caso 2

I fattori di q (x) sono tutti lineari e alcuni si ripetono. Supponiamo che (ax + b) sia un fattore che ripete "s" volte; quindi, a questo fattore corrisponde la somma delle frazioni parziali «s».

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Dove A _s , A _s-1 ,…, A ₁ sono le costanti da determinare. Con il seguente esempio mostreremo come determinare queste costanti.

Esempio

Si decompone in frazioni parziali:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Scriviamo la funzione razionale come somma di frazioni parziali come segue:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2 ).

Poi:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Sostituendo 2 per x, abbiamo che:

7 = 4C, cioè C = 7/4.

Sostituendo 0 per x abbiamo:

- 1 = –8A o A = 1/8.

Sostituendo questi valori nell'equazione precedente e sviluppando, abbiamo che:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Equando i coefficienti, otteniamo il seguente sistema di equazioni:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Risolvendo il sistema, abbiamo:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Per questo dobbiamo:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Caso 3

I fattori di q (x) sono quadratici lineari, senza fattori quadratici ripetuti. In questo caso, il fattore quadratico (ax ² + bx + c) corrisponderà alla frazione parziale (Ax + B) / (ax ² + bx + c), dove le costanti A e B sono quelle da determinare.

L'esempio seguente mostra come procedere in questo caso

Esempio

Decomponi in semplici frazioni a (x + 1) / (x ^3-1 ).

Per prima cosa procediamo a fattorizzare il denominatore, che ci dà come risultato:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Possiamo osservare che (x ² + x + 1) è un polinomio quadratico irriducibile; cioè non ha radici reali. La sua scomposizione in frazioni parziali sarà la seguente:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Da ciò otteniamo la seguente equazione:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Usando l'uguaglianza dei polinomi, otteniamo il seguente sistema:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Da questo sistema abbiamo che A = 2/3, B = - 2/3 e C = 1/3. In sostituzione, abbiamo che:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Caso 4

Infine, il caso 4 è quello in cui i fattori di q (x) sono lineari e quadratici, dove si ripetono alcuni dei fattori quadratici lineari.

In questo caso, se (ax ² + bx + c) è un fattore quadratico che ripete "s" volte, la frazione parziale corrispondente al fattore (ax ² + bx + c) sarà:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (ax ² + bx + c) ^s

Dove A _s , A _s-1 ,…, A e B _s , B _s-1 ,…, B sono le costanti da determinare.

Esempio

Vogliamo scomporre la seguente funzione razionale in frazioni parziali:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Poiché x ² - 4x + 5 è un fattore quadratico irriducibile, abbiamo che la sua scomposizione in frazioni parziali è data da:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Semplificando e sviluppando, abbiamo:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Da quanto sopra abbiamo il seguente sistema di equazioni:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Quando risolviamo il sistema, ci rimane:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 ed E = - 3/5.

Sostituendo i valori ottenuti abbiamo:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

applicazioni

Calcolo integrale

Le frazioni parziali vengono utilizzate principalmente per lo studio del calcolo integrale. Di seguito sono riportati alcuni esempi di come eseguire integrali utilizzando frazioni parziali.

Esempio 1

Vogliamo calcolare l'integrale di:

Possiamo vedere che il denominatore q (x) = (t + 2) ² (t + 1) è costituito da fattori lineari dove uno di questi si ripete; Questo è il motivo per cui siamo nel caso 2.

Dobbiamo:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Riscriviamo l'equazione e abbiamo:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Se t = - 1, abbiamo:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Se t = - 2, ci dà:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Quindi, se t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Sostituendo i valori di A e C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Da quanto sopra abbiamo che B = - 1.

Riscriviamo l'integrale come:

Procediamo per risolverlo con il metodo di sostituzione:

Questo è il risultato:

Esempio 2

Risolvi il seguente integrale:

In questo caso possiamo fattorizzare aq (x) = x ² - 4 come q (x) = (x - 2) (x + 2). Siamo chiaramente nel caso 1. Quindi:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Può anche essere espresso come:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Se x = - 2, abbiamo:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

E se x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Quindi, ci resta che risolvere l'integrale dato è equivalente alla risoluzione:

Questo ci dà come risultato:

Esempio 3

Risolvi l'integrale:

Abbiamo q (x) = 9x ⁴ + x ² , che possiamo scomporre in q (x) = x ² (9x ² + 1).

Questa volta abbiamo un fattore lineare ripetuto e un fattore quadratico; cioè, siamo nel caso 3.

Dobbiamo:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Raggruppando e utilizzando polinomi uguali, abbiamo:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Da questo sistema di equazioni abbiamo:

D = - 9 e C = 0

In questo modo abbiamo:

Risolvendo quanto sopra, abbiamo:

Legge dell'azione di massa

Un'interessante applicazione delle frazioni parziali applicate al calcolo integrale si trova in chimica, più precisamente nella legge dell'azione di massa.

Supponiamo di avere due sostanze, A e B, che si uniscono e formano una sostanza C, in modo che la derivata della quantità di C rispetto al tempo sia proporzionale al prodotto delle quantità di A e B in un dato momento.

Possiamo esprimere la legge dell'azione di massa come segue:

In questa espressione α è il numero iniziale di grammi corrispondenti ad A e β il numero iniziale di grammi corrispondenti a B.

Inoltre, r e s rappresentano rispettivamente il numero di grammi di A e B che si combinano per formare r + s grammi di C.Da parte sua, x rappresenta il numero di grammi di sostanza C al tempo t, e K è il costante di proporzionalità. L'equazione sopra può essere riscritta come:

Apportare la seguente modifica:

Abbiamo che l'equazione diventa:

Da questa espressione possiamo ottenere:

Dove se a ≠ b, le frazioni parziali possono essere utilizzate per l'integrazione.

Esempio

Prendiamo ad esempio una sostanza C che nasce dalla combinazione di una sostanza A con a B, in modo tale che la legge di massa sia soddisfatta dove i valori di aeb sono 8 e 6 rispettivamente. Fornisci un'equazione che ci dia il valore di grammi di C in funzione del tempo.

Sostituendo i valori nella data legge di massa, abbiamo:

Quando si separano le variabili abbiamo:

Qui 1 / (8 - x) (6 - x) può essere scritto come la somma delle frazioni parziali, come segue:

Quindi, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Se sostituiamo 6 per x, abbiamo B = 1/2; e sostituendo 8 per x, abbiamo A = - 1/2.

Integrando per frazioni parziali abbiamo:

Questo ci dà come risultato:

Equazioni differenziali: equazione logistica

Un'altra applicazione che può essere data alle frazioni parziali è nell'equazione differenziale logistica. In modelli semplici abbiamo che il tasso di crescita di una popolazione è proporzionale alla sua dimensione; vale a dire:

Questo caso è un ideale ed è considerato realistico fino a quando non accade che le risorse disponibili in un sistema non siano sufficienti a sostenere la popolazione.

In queste situazioni, la cosa più ragionevole è pensare che esiste una capacità massima, che chiameremo L, che il sistema può sostenere, e che il tasso di crescita è proporzionale alla dimensione della popolazione moltiplicata per la dimensione disponibile. Questo argomento porta alla seguente equazione differenziale:

Questa espressione è chiamata equazione differenziale logistica. È un'equazione differenziale separabile che può essere risolta con il metodo dell'integrazione della frazione parziale.

Esempio

Un esempio potrebbe essere quello di considerare una popolazione che cresce secondo la seguente equazione differenziale logistica y '= 0.0004y (1000 - y), il cui dato iniziale è 400. Vogliamo conoscere la dimensione della popolazione al tempo t = 2, dove viene misurato t in anni.

Se scriviamo y 'con la notazione di Leibniz come una funzione che dipende da t, abbiamo:

L'integrale sul lato sinistro può essere risolto utilizzando il metodo dell'integrazione della frazione parziale:

Possiamo riscrivere quest'ultima uguaglianza come segue:

- Sostituendo y = 0 abbiamo che A è uguale a 1/1000.

- Sostituendo y = 1000 abbiamo che B è uguale a 1/1000.

Con questi valori l'integrale è il seguente:

La soluzione è:

Utilizzando i dati iniziali:

Durante la cancellazione e abbiamo:

Allora abbiamo che at = 2:

In conclusione, dopo 2 anni la dimensione della popolazione è di circa 597,37.

Riferimenti

1. A, RA (2012). Matematica 1. Universidad de los Andes. Consiglio delle pubblicazioni.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 Integrali risolti. Università Nazionale Sperimentale di Tachira.
3. Leithold, L. (1992). Il calcolo con geometria analitica. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D. e Rigdon, SE (2007). Calcolo. Messico: Pearson Education.
5. Saenz, J. (nd). Calcolo integrale. Ipotenusa.