EVENTI COMPLEMENTARI: IN COSA CONSISTONO ED ESEMPI - MATEMATICA - 2024

Gli eventi aggiuntivi sono definiti come un qualsiasi gruppo di eventi che si escludono a vicenda, dove l'unione di essi è in grado di coprire completamente lo spazio campionario o eventuali casi di sperimentazione (sono esaustivi).

La loro intersezione risulta nell'insieme vuoto (∅). La somma delle probabilità di due eventi complementari è uguale a 1. In altre parole, 2 eventi con questa caratteristica coprono completamente la possibilità di eventi di un esperimento.

Fonte: pexels.com

Quali sono gli eventi complementari?

Un caso generico molto utile per comprendere questo tipo di evento è tirare un dado:

Quando si definisce lo spazio campionario, vengono nominati tutti i casi possibili offerti dall'esperimento. Questo set è noto come l'universo.

Spazio campione (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Le opzioni non stipulate nello spazio campionario non fanno parte delle possibilità dell'esperimento. Ad esempio {il numero sette viene fuori} Ha una probabilità pari a zero.

In base all'obiettivo della sperimentazione, se necessario vengono definiti insiemi e sottoinsiemi. La notazione dell'insieme da utilizzare è anche determinata in base all'obiettivo o al parametro da studiare:

A: {Emette un numero pari} = {2, 4, 6}

B: {Ottieni un numero dispari} = {1, 3, 5}

In questo caso A e B sono Eventi Complementari. Perché entrambi gli insiemi si escludono a vicenda (un numero pari che a sua volta è dispari non può venire fuori) e l'unione di questi insiemi copre l'intero spazio campionario.

Altri possibili sottoinsiemi nell'esempio sopra sono:

C : {Emette un numero primo} = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

Gli insiemi A, B e C sono scritti rispettivamente in notazione descrittiva e analitica . Per l'insieme D è stata utilizzata la notazione algebrica e i possibili risultati corrispondenti all'esperimento sono stati descritti in Notazione analitica .

Si osserva nel primo esempio che poiché A e B sono eventi complementari

A: {Emette un numero pari} = {2, 4, 6}

B: {Ottieni un numero dispari} = {1, 3, 5}

I seguenti assiomi valgono:

1. AUB = S ; L'unione di due eventi complementari è uguale allo spazio campionario
2. A ∩B = ∅ ; L'intersezione di due eventi complementari è uguale all'insieme vuoto
3. A '= B ᴧ B' = A; Ogni sottoinsieme è uguale al complemento del suo omologo
4. A '∩ A = B' ∩ B = ∅; Interseca un insieme con il suo complemento uguale a vuoto
5. A 'UA = B' UB = S; Unire un set con il suo complemento equivale allo spazio campionario

Nella statistica e negli studi probabilistici, gli eventi complementari fanno parte dell'intera teoria, essendo molto comuni tra le operazioni svolte in quest'area.

Per saperne di più sugli eventi complementari , è necessario comprendere alcuni termini che aiutano a definirli concettualmente.

Quali sono gli eventi?

Sono possibilità ed eventi frutto della sperimentazione, capaci di offrire risultati in ciascuna delle loro iterazioni. Gli eventi generano i dati da registrare come elementi di insiemi e sottoinsiemi, le tendenze in questi dati sono motivo di studio per la probabilità.

Esempi di eventi sono:

• La moneta puntava le teste
• La partita ha portato a un pareggio
• La sostanza chimica ha reagito in 1,73 secondi
• La velocità nel punto massimo era di 30 m / s
• Il dado ha segnato il numero 4

Cos'è un plugin?

Per quanto riguarda la teoria degli insiemi. Un complemento si riferisce alla porzione dello spazio campione che deve essere aggiunta a un set affinché comprenda il suo universo. È tutto ciò che non fa parte del tutto.

Un modo ben noto per denotare il complemento nella teoria degli insiemi è:

A 'Complemento di A

Diagramma di Venn

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Si tratta di uno schema grafico di analisi del contenuto, ampiamente utilizzato nelle operazioni matematiche che coinvolgono insiemi, sottoinsiemi ed elementi. Ogni set è rappresentato da una lettera maiuscola e da una figura ovale (questa caratteristica non è obbligatoria nel suo utilizzo) che contiene ognuno dei suoi elementi.

Gli eventi aggiuntivi vengono visualizzati direttamente nei diagrammi di Venn, come metodo grafico per identificare i sommatori corrispondenti a ciascun set.

La semplice visualizzazione completa dell'ambiente di un insieme, omettendone il confine e la struttura interna, permette di dare una definizione al complemento dell'insieme studiato.

Esempi di eventi complementari

Esempi di eventi complementari sono il successo e la sconfitta in un evento in cui l'uguaglianza non può esistere (una partita di baseball).

Le variabili booleane sono eventi complementari: vero o falso, allo stesso modo giusto o sbagliato, chiuso o aperto, acceso o spento.

Esercizi di eventi complementari

Esercizio 1

Sia S l'insieme dell'universo definito da tutti i numeri naturali minori o uguali a dieci.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Vengono definiti i seguenti sottoinsiemi di S

H: {Numeri naturali inferiori a quattro} = {0, 1, 2, 3}

J: {Multipli di tre} = {3, 6, 9}

K: {Multipli di cinque} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {numeri naturali maggiori o uguali a quattro} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Decidere:

Quanti eventi complementari possono essere formati mettendo in relazione coppie di sottoinsiemi di S ?

Secondo la definizione di eventi complementari , vengono identificate le coppie che soddisfano i requisiti (si escludono a vicenda e coprono lo spazio campionario quando si uniscono). Le seguenti coppie di sottoinsiemi sono eventi complementari :

• H e N
• J e M
• L e K

Esercizio 2

Mostra che: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; L'intersezione tra gli insiemi produce gli elementi comuni tra i due insiemi operanti. In questo modo 5 è l'unico elemento comune tra M e K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Poiché L e K sono complementari, il terzo assioma sopra descritto è soddisfatto (ogni sottoinsieme è uguale al complemento del suo omologo)

Esercizio 3

Definisci: "

J ∩ H = {3} ; In modo simile al primo passaggio dell'esercizio precedente.

(J * H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Queste operazioni sono note come combinate e di solito vengono trattate con un diagramma di Venn.

' = {0, 1, 2}; Viene definito il complemento dell'operazione combinata.

Esercizio 4

Dimostra che: { ∩ ∩} '= ∅

L'operazione composta descritta all'interno delle parentesi graffe si riferisce alle intersezioni tra le unioni degli eventi complementari. In questo modo si procede alla verifica del primo assioma (L'unione di due eventi complementari è uguale allo spazio campionario).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; L'unione e l'intersezione di un insieme con se stesso genera lo stesso insieme.

Poi; S '= ∅ Per definizione di insiemi.

Esercizio 5

Definisci 4 intersezioni tra sottoinsiemi, i cui risultati sono diversi dall'insieme vuoto (∅).

• M ∩ N

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• L ∩ H

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• J ∩ N

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

Riferimenti

1. IL RUOLO DEI METODI STATISTICI IN SCIENZA INFORMATICA E BIOINFORMATICA. Irina Arhipova. Latvia University of Agriculture, Lettonia.
2. Statistiche e valutazione delle prove per scienziati forensi. Seconda edizione. Colin GG Aitken. Scuola di Matematica. L'Università di Edimburgo, Regno Unito
3. TEORIA DI BASE DELLA PROBABILITÀ, Robert B. Ash. Dipartimento di Matematica. Università dell'Illinois
4. STATISTICA elementare. Decima edizione. Mario F. Triola. Boston St.
5. Matematica e Ingegneria in Informatica. Christopher J. Van Wyk. Istituto di informatica e tecnologia. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
6. Matematica per l'informatica. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Department of Mathematics and the Computer Science and AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies