- Metodo di divisione sintetica
- Esercizi risolti
- - Esempio 1
- Soluzione
- - Esempio 2
- Soluzione
- - Esempio 3
- - Esempio 4
- Riferimenti
La divisione sintetica è un modo semplice per dividere un polinomio P (x) qualsiasi della forma d (x) = x - c. Ad esempio, il polinomio P (x) = (x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1) può essere rappresentato come la moltiplicazione dei due polinomi più semplici (x + 1) e (x 4 + 2x 3 ).
È uno strumento molto utile in quanto, oltre a permetterci di dividere i polinomi, ci permette anche di valutare un polinomio P (x) a qualsiasi numero c, che a sua volta ci dice con precisione se detto numero è uno zero del polinomio oppure no.
Grazie all'algoritmo di divisione, sappiamo che se abbiamo due polinomi non costanti P (x) e d (x), ci sono polinomi unici q (x) e r (x) tali che è vero che P (x) = q (x) d (x) + r (x), dove r (x) è zero o minore di q (x). Questi polinomi sono noti rispettivamente come quoziente e resto o resto.
Nelle occasioni in cui il polinomio d (x) è della forma x- c, la divisione sintetica ci fornisce un modo breve per trovare chi sono q (x) e r (x).
Metodo di divisione sintetica
Sia P (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 il polinomio che vogliamo dividere d (x) = xc il divisore. Per dividere per il metodo della divisione sintetica procediamo come segue:
1- Scriviamo i coefficienti di P (x) nella prima riga. Se una qualsiasi potenza di X non appare, mettiamo zero come coefficiente.
2- Nella seconda riga, a sinistra di a n mettiamo c, e tracciamo le linee di divisione come mostrato nella figura seguente:
3- Abbassiamo il coefficiente guida alla terza riga.
In questa espressione b n-1 = a n
4- Moltiplichiamo c per il coefficiente guida b n-1 e scriviamo il risultato nella seconda riga, ma una colonna a destra.
5- Aggiungiamo la colonna dove scriviamo il risultato precedente e posizioniamo il risultato sotto quella somma; cioè, nella stessa colonna, terza riga.
Aggiungendo, abbiamo come risultato n-1 + c * b n-1 , che per comodità chiameremo b n-2
6- Moltiplichiamo c per il risultato precedente e scriviamo il risultato alla sua destra nella seconda riga.
7- Ripetiamo i passaggi 5 e 6 fino a raggiungere il coefficiente a 0 .
8- Scriviamo la risposta; cioè il quoziente e il resto. Poiché stiamo dividendo un polinomio di grado n per un polinomio di grado 1, abbiamo che il quoziente sarebbe di grado n-1.
I coefficienti del polinomio quoziente saranno i numeri nella terza riga eccetto l'ultimo, che sarà il polinomio residuo o resto della divisione.
Esercizi risolti
- Esempio 1
Eseguire la seguente divisione con il metodo della divisione sintetica:
(x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1): (x + 1).
Soluzione
Scriviamo prima i coefficienti del dividendo come segue:
Quindi scriviamo c sul lato sinistro, nella seconda riga, insieme alle linee di divisione. In questo esempio c = -1.
Abbassiamo il coefficiente principale (in questo caso b n-1 = 1) e lo moltiplichiamo per -1:
Scriviamo il suo risultato a destra nella seconda riga, come mostrato di seguito:
Aggiungiamo i numeri nella seconda colonna:
Moltiplichiamo 2 per -1 e scriviamo il risultato nella terza colonna, seconda riga:
Aggiungiamo nella terza colonna:
Procediamo allo stesso modo fino a raggiungere l'ultima colonna:
Quindi, abbiamo che l'ultimo numero ottenuto è il resto della divisione e i numeri rimanenti sono i coefficienti del polinomio quoziente. Questo è scritto come segue:
Se vogliamo verificare che il risultato sia corretto, è sufficiente verificare che sia vera la seguente equazione:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
Quindi possiamo verificare che il risultato ottenuto sia corretto.
- Esempio 2
Eseguire la seguente divisione di polinomi con il metodo della divisione sintetica
(7x 3 -x + 2): (x + 2)
Soluzione
In questo caso abbiamo che il termine x 2 non compare, quindi scriveremo 0 come suo coefficiente. Pertanto, il polinomio sarebbe 7x 3 + 0x 2 -x + 2.
Scriviamo i loro coefficienti di seguito, questo è:
Scriviamo il valore di C = -2 sul lato sinistro della seconda riga e tracciamo le linee di divisione.
Abbassiamo il coefficiente guida b n-1 = 7 e lo moltiplichiamo per -2, scrivendo il suo risultato nella seconda riga a destra.
Aggiungiamo e procediamo come precedentemente spiegato, fino a raggiungere l'ultimo termine:
In questo caso, il resto è r (x) = - 52 e il quoziente ottenuto è q (x) = 7x 2 -14x + 27.
- Esempio 3
Un altro modo per utilizzare la divisione sintetica è il seguente: supponiamo di avere un polinomio P (x) di grado ne di voler sapere quale valore è valutandolo in x = c.
Con l'algoritmo di divisione possiamo scrivere il polinomio P (x) nel modo seguente:
In questa espressione q (x) e r (x) sono rispettivamente il quoziente e il resto. Ora, se d (x) = x- c, valutando in c nel polinomio otteniamo quanto segue:
Pertanto, resta solo da trovare ar (x), e possiamo farlo grazie alla divisione sintetica.
Ad esempio, abbiamo il polinomio P (x) = x 7 -9x 6 + 19x 5 + 12x 4 -3x 3 + 19x 2 -37x-37 e vogliamo sapere qual è il suo valore valutandolo in x = 5. Per fare ciò eseguiamo il divisione tra P (x) e d (x) = x -5 con il metodo della divisione sintetica:
Una volta fatte le operazioni, sappiamo che possiamo scrivere P (x) nel modo seguente:
P (x) = (x 6 -4x 5 –x 4 + 7x 3 + 32x 2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
Pertanto, quando lo valutiamo dobbiamo:
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
P (5) = 0 + 4253 = 4253
Come possiamo vedere, è possibile utilizzare la divisione sintetica per trovare il valore di un polinomio valutandolo in c piuttosto che semplicemente sostituendo c con x.
Se provassimo a valutare P (5) in modo tradizionale, saremmo costretti a eseguire alcuni calcoli che spesso diventano noiosi.
- Esempio 4
L'algoritmo di divisione per i polinomi vale anche per i polinomi con coefficienti complessi e, di conseguenza, abbiamo che il metodo di divisione sintetica funziona anche per tali polinomi. Vedremo un esempio di seguito.
Useremo il metodo della divisione sintetica per mostrare che z = 1+ 2i è uno zero del polinomio P (x) = x 3 + (1 + i) x 2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i); cioè, il resto della divisione P (x) per d (x) = x - z è uguale a zero.
Procediamo come prima: nella prima riga scriviamo i coefficienti di P (x), poi nella seconda scriviamo z e disegniamo le linee di divisione.
Eseguiamo la divisione come prima; questo è:
Possiamo osservare che il resto è zero; quindi concludiamo che z = 1+ 2i è uno zero di P (x).
Riferimenti
- Baldor Aurelio. Algebra Grupo Editorial Patria.
- Demana, Waits, Foley e Kennedy. Precalculus: grafico, numerico, algebrico 7th Ed. Pearson Education.
- Flemming W & Varserg D. Algebra e trigonometria con geometria analitica. Prentice Hall
- Michael Sullivan. Precalculus 4th Ed. Pearson Education.
- Rosso. Armando O. Algebra 1 6a Ed. L'Ateneo.