- Dimostrazione
- Esempi
- Esempio 1
- Esempio 2
- Esempio 3
- Esempio 4
- Esempio 5
- Esempio 6
- Esercizi risolti
- Esercizio 1
- Esercizio 2
- Esercizio 3
- Esercizio 4
- Riferimenti
Si chiama proprietà triangolo disuguale che incontrano due numeri reali costituiti dal valore assoluto della loro somma è sempre minore o uguale alla somma dei loro valori assoluti. Questa proprietà è nota anche come disuguaglianza di Minkowski o disuguaglianza triangolare.
Questa proprietà dei numeri è chiamata disuguaglianza triangolare perché nei triangoli accade che la lunghezza di un lato sia sempre minore o uguale alla somma degli altri due, anche se questa disuguaglianza non si applica sempre nell'area dei triangoli.
Figura 1. Il valore assoluto della somma di due numeri è sempre minore o uguale alla somma dei loro valori assoluti. (Preparato da R. Pérez)
Esistono diverse prove della disuguaglianza triangolare in numeri reali, ma in questo caso ne sceglieremo una basata sulle proprietà del valore assoluto e del binomio quadrato.
Teorema: per ogni coppia di numeri aeb appartenenti ai numeri reali abbiamo:
- a + b - ≤ - a - + - b -
Dimostrazione
Iniziamo considerando il primo membro della disuguaglianza, che sarà al quadrato:
- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Eq.1)
Nel passaggio precedente abbiamo utilizzato la proprietà che ogni numero al quadrato è uguale al valore assoluto di detto numero al quadrato, ovvero: -x- ^ 2 = x ^ 2. È stata utilizzata anche l'espansione binomiale quadrata.
Ogni numero x è minore o uguale al suo valore assoluto. Se il numero è positivo è uguale, ma se il numero è negativo sarà sempre inferiore a un numero positivo. In questo caso il suo valore assoluto, cioè si può affermare che x ≤ - x -.
Il prodotto (ab) è un numero, quindi si applica che (ab) ≤ - ab -. Quando questa proprietà viene applicata a (Eq.1) abbiamo:
- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Eq.2)
Tenendo conto che - ab - = - a - b - la (Eq.2) può essere scritto come segue:
- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Eq.3)
Ma poiché abbiamo detto prima che il quadrato di un numero è uguale al valore assoluto del numero al quadrato, allora l'equazione 3 può essere riscritta come segue:
- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (Eq.4)
Nel secondo membro della disuguaglianza, si riconosce un prodotto notevole, che quando applicato porta a:
- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (Eq.5)
Nell'espressione precedente va notato che i valori da quadrare in entrambi i membri della disuguaglianza sono positivi, quindi si deve anche accertare che:
- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Eq.6)
L'espressione precedente è esattamente ciò che volevi dimostrare.
Esempi
Successivamente controlleremo la disuguaglianza triangolare con diversi esempi.
Esempio 1
Prendiamo il valore a = 2 e il valore b = 5, cioè entrambi numeri positivi e controlliamo se la disuguaglianza è soddisfatta o meno.
- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-
- 7 - ≤ -2- + -5-
7 ≤ 2+ 5
L'uguaglianza è verificata, quindi il teorema di disuguaglianza triangolare è stato soddisfatto.
Esempio 2
Si scelgono i seguenti valori a = 2 eb = -5, cioè un numero positivo e l'altro negativo, controlliamo se la disuguaglianza è soddisfatta o meno.
- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-
- -3 - ≤ -2- + --5-
3 ≤ 2 + 5
La disuguaglianza è soddisfatta, quindi è stato verificato il teorema di disuguaglianza triangolare.
Esempio 3
Prendiamo il valore a = -2 e il valore b = 5, cioè un numero negativo e l'altro positivo, controlliamo se la disuguaglianza è soddisfatta o meno.
- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-
- 3 - ≤ --2- + -5-
3 ≤ 2 + 5
La disuguaglianza è verificata, quindi il teorema è stato soddisfatto.
Esempio 4
Vengono scelti i seguenti valori a = -2 eb = -5, cioè entrambi numeri negativi e controlliamo se la disuguaglianza è soddisfatta o meno.
- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-
- -7 - ≤ --2- + --5-
7 ≤ 2+ 5
L'uguaglianza è verificata, quindi il teorema di disuguaglianza di Minkowski è stato soddisfatto.
Esempio 5
Prendiamo il valore a = 0 e il valore b = 5, cioè un numero zero e l'altro positivo, quindi controlliamo se la disuguaglianza è soddisfatta o meno.
- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-
- 5 - ≤ -0- + -5-
5 ≤ 0+ 5
L'uguaglianza è soddisfatta, quindi il teorema di disuguaglianza triangolare è stato verificato.
Esempio 6
Prendiamo il valore a = 0 e il valore b = -7, cioè un numero zero e l'altro positivo, quindi controlliamo se la disuguaglianza è soddisfatta o meno.
- 0-7 - ≤ -0- + --7-
- -7 - ≤ -0- + --7-
7 ≤ 0+ 7
L'uguaglianza è verificata, quindi il teorema di disuguaglianza triangolare è stato soddisfatto.
Esercizi risolti
Negli esercizi seguenti, rappresenta geometricamente la disuguaglianza triangolare o disuguaglianza di Minkowski per i numeri a e b.
Il numero a sarà rappresentato come un segmento sull'asse X, la sua origine O coincide con lo zero dell'asse X e l'altra estremità del segmento (al punto P) sarà nella direzione positiva (a destra) dell'asse X se a > 0, ma se a <0 sarà verso la direzione negativa dell'asse X, tante unità quante ne indica il suo valore assoluto.
Allo stesso modo, il numero b sarà rappresentato come un segmento la cui origine è sul punto P. L'altro estremo, cioè il punto Q sarà a destra di P se b è positivo (b> 0) e il punto Q sarà -b - unità a sinistra di P se b <0.
Esercizio 1
Rappresenta graficamente la disuguaglianza del triangolo per a = 5 e b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, dove c = a + b.
Esercizio 2
Disegna il grafico della disuguaglianza triangolare per a = 5 eb = -3.
- a + b - ≤ - a - + - b -, dove c = a + b.
Esercizio 3
Mostra graficamente la disuguaglianza del triangolo per a = -5 eb = 3.
- a + b - ≤ - a - + - b -, dove c = a + b.
Esercizio 4
Costruisci graficamente la disuguaglianza triangolare per a = -5 eb = -3.
- a + b - ≤ - a - + - b -, dove c = a + b.
Riferimenti
- E. Whitesitt. (1980) Algebra booleana e sue applicazioni. Società editoriale Continental CA
- Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elements of Abstract Analysis. . Dipartimento di matematica. College universitario di Dublino, Beldfield, Dublino.
- J. Van Wyk. (2006) Matematica e ingegneria in informatica. Istituto di informatica e tecnologia. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
- Eric Lehman. Matematica per l'informatica. Google inc.
- F Thomson Leighton (1980). Calcolo. Dipartimento di Matematica e Computer Science and AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology.
- Khan Academy. Teorema di disuguaglianza triangolare. Estratto da: khanacademy.org
- Wikipedia. Disuguaglianza triangolare. Estratto da: es. wikipedia.com