- Definizione
- Esempio 1
- Esempio 2
- Velocità e accelerazione
- Esempio 1
- Esempio 2
- applicazioni
- Derivazione esplicita
- Esempio
- Estremi relativi
- Esempio
- Serie Taylor
- Esempio
- Riferimenti
Le derivate successive sono quelle derivate da una funzione dopo la derivata seconda. Il processo per calcolare le derivate successive è il seguente: abbiamo una funzione f, che possiamo derivare e quindi ottenere la funzione derivata f '. Possiamo derivare di nuovo questa derivata di f, ottenendo (f ')'.
Questa nuova funzione è chiamata derivata seconda; tutte le derivate calcolate dal secondo sono successive; Questi, chiamati anche ordine superiore, hanno grandi applicazioni, come fornire informazioni sul diagramma del grafico di una funzione, il test della derivata seconda per estremi relativi e la determinazione di serie infinite.
Definizione
Usando la notazione di Leibniz, abbiamo che la derivata di una funzione "y" rispetto a "x" è dy / dx. Per esprimere la seconda derivata di "y" usando la notazione di Leibniz, scriviamo come segue:
In generale, possiamo esprimere derivate successive come segue con la notazione di Leibniz, dove n rappresenta l'ordine della derivata.
Altre notazioni utilizzate sono le seguenti:
Alcuni esempi in cui possiamo vedere le diverse notazioni sono:
Esempio 1
Ottieni tutte le derivate della funzione f definita da:
Usando le solite tecniche di derivazione, abbiamo che la derivata di f è:
Ripetendo il processo possiamo ottenere la derivata seconda, la derivata terza e così via.
Nota che la quarta derivata è zero e la derivata zero è zero, quindi abbiamo:
Esempio 2
Calcola la quarta derivata della seguente funzione:
Derivando la funzione data abbiamo come risultato:
Velocità e accelerazione
Una delle motivazioni che hanno portato alla scoperta della derivata è stata la ricerca della definizione di velocità istantanea. La definizione formale è la seguente:
Sia y = f (t) una funzione il cui grafico descrive la traiettoria di una particella al tempo t, quindi la sua velocità al tempo t è data da:
Una volta ottenuta la velocità di una particella, possiamo calcolare l'accelerazione istantanea, che è definita come segue:
L'accelerazione istantanea di una particella il cui percorso è dato da y = f (t) è:
Esempio 1
Una particella si muove lungo una linea secondo la funzione di posizione:
Dove "y" è misurato in metri e "t" in secondi.
- In quale istante la sua velocità è 0?
- In quale istante la sua accelerazione è 0?
Quando si ricava la funzione di posizione «e» si ha che la sua velocità e accelerazione sono date rispettivamente da:
Per rispondere alla prima domanda è sufficiente determinare quando la funzione v diventa zero; questo è:
Procediamo con la seguente domanda in modo analogo:
Esempio 2
Una particella si muove lungo una linea secondo la seguente equazione del moto:
Determina "t, y" e "v" quando a = 0.
Sapendo che velocità e accelerazione sono date da
Procediamo per ricavare e ottenere:
Facendo a = 0, abbiamo:
Da dove possiamo dedurre che il valore di t affinché a sia uguale a zero è t = 1.
Quindi, valutando la funzione di posizione e la funzione di velocità in t = 1, abbiamo:
applicazioni
Derivazione esplicita
Derivate successive possono essere ottenute anche per derivazione implicita.
Esempio
Data la seguente ellisse, trova "y":
Derivando implicitamente rispetto a x, abbiamo:
Quindi ri-derivare implicitamente rispetto a x ci dà:
Infine, abbiamo:
Estremi relativi
Un altro uso che possiamo dare alle derivate del secondo ordine è nel calcolo degli estremi relativi di una funzione.
Il criterio della derivata prima per gli estremi locali ci dice che, se abbiamo una funzione continua f su un intervallo (a, b) e c'è una c che appartiene a detto intervallo tale che f 'svanisce in c (cioè che c è un punto critico), si può verificare uno dei tre casi:
- Se f´ (x)> 0 per ogni x appartenente a (a, c) e f´ (x) <0 per x appartenente a (c, b), allora f (c) è un massimo locale.
- Se f´ (x) <0 per ogni x appartenente a (a, c) e f´ (x)> 0 per x appartenente a (c, b), allora f (c) è un minimo locale.
- Se f´ (x) ha lo stesso segno in (a, c) e in (c, b), implica che f (c) non è un estremo locale.
Utilizzando il criterio della derivata seconda possiamo sapere se un numero critico di una funzione è un massimo o un minimo locale, senza dover vedere quale sia il segno della funzione negli intervalli suddetti.
Il criterio della seconda deriva ci dice che se f´ (c) = 0 e che f´´ (x) è continuo in (a, b), accade che se f´´ (c)> 0 allora f (c) è un minimo locale e se f´´ (c) <0 allora f (c) è un massimo locale.
Se f´´ (c) = 0, non possiamo concludere nulla.
Esempio
Data la funzione f (x) = x 4 + (4/3) x 3 - 4x 2 , trova i massimi e minimi relativi di f usando il criterio della derivata seconda.
Per prima cosa calcoliamo f´ (x) e f´´ (x) e abbiamo:
f´ (x) = 4x 3 + 4x 2 - 8x
f´´ (x) = 12x 2 + 8x - 8
Ora, f´ (x) = 0 se, e solo se 4x (x + 2) (x - 1) = 0, e questo accade quando x = 0, x = 1 o x = - 2.
Per determinare se i numeri critici ottenuti sono estremi relativi, è sufficiente valutare in f´´ e quindi osservarne il segno.
f´´ (0) = - 8, quindi f (0) è un massimo locale.
f´´ (1) = 12, quindi f (1) è un minimo locale.
f´´ (- 2) = 24, quindi f (- 2) è un minimo locale.
Serie Taylor
Sia f una funzione definita come segue:
Questa funzione ha un raggio di convergenza R> 0 e ha derivate di tutti gli ordini in (-R, R). Le successive derivate di f ci danno:
Prendendo x = 0, possiamo ottenere i valori di c n in funzione delle loro derivate come segue:
Se prendiamo an = 0 come funzione f (cioè f ^ 0 = f), allora possiamo riscrivere la funzione come segue:
Consideriamo ora la funzione come una serie di potenze in x = a:
Se eseguiamo un'analisi analoga alla precedente, avremmo di poter scrivere la funzione f come:
Queste serie sono note come serie di Taylor dalla f alla a. Quando a = 0 abbiamo il caso particolare chiamato serie Maclaurin. Questo tipo di serie è di grande importanza matematica soprattutto nell'analisi numerica, poiché grazie a queste possiamo definire funzioni nei computer come e x , sin (x) e cos (x).
Esempio
Ottieni la serie Maclaurin per e x .
Nota che se f (x) = e x , allora f (n) (x) = e x e f (n) (0) = 1, quindi la sua serie di Maclaurin è:
Riferimenti
- Frank Ayres, J., e Mendelson, E. (nd). Calcolo 5ed. Mc Graw Hill.
- Leithold, L. (1992). Il calcolo con geometria analitica. HARLA, SA
- Purcell, EJ, Varberg, D. e Rigdon, SE (2007). Calcolo. Messico: Pearson Education.
- Saenz, J. (2005). Calcolo diferenziale. Ipotenusa.
- Saenz, J. (nd). Calcolo integrale. Ipotenusa.