- Come vengono risolti i derivati impliciti?
- Regola di derivazione
- Ordine operativo
- Implicito
- Storia
- applicazioni
- Esercizi risolti
- Esercizio 1
- Esercizio 2
- Riferimenti
Le derivate implicite sono strumenti utilizzati in una tecnica di differenziazione applicata alle funzioni. Vengono applicati quando non è possibile, con metodi regolari, risolvere la variabile dipendente da derivare. Questa liquidazione viene eseguita in funzione della variabile indipendente.
Ad esempio, nell'espressione 3xy 3 - 2y + xy 2 = xy, non è possibile ottenere l'espressione che definisce "y" come una funzione di "x". In modo che derivando l'espressione differenziale dy / dx si possa ottenere.
Come vengono risolti i derivati impliciti?
Per risolvere una derivata implicita, iniziamo con un'espressione implicita. Ad esempio: 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0. Questo è già stato risolto correttamente, tuttavia farlo non è una condizione necessaria per ottenere la derivata di y rispetto a x. Quindi, ciascuno degli elementi viene derivato rispettando la regola della catena per le funzioni miste:
3xy 3 è composto da 2 variabili, quindi d (3xy 3 ) sarà trattato come la derivata di un prodotto di funzioni.
d (3xy 3 ) / dx = 3y 3 + 3y 2. (3x) y '= 3y 3 + 9xy 2 y'
Dove l'elemento y 'è noto come "y primo" e rappresenta dy / dx
-2y È derivato secondo la legge KU = K.U '
d (-2y) = -2 y '
xy 2 suppone un altro differenziale composto da un prodotto di funzioni
d (xy 2 ) = y 2 + 2xy y '
-xy è trattato in modo omologo
d (-xy) = -y - x y '
Sono sostituiti in uguaglianza, sapendo che la derivata di zero è zero.
3y 3 + 9xy 2 y '- 2 y' + y 2 + 2xy y '- y - x y' = 0
Gli elementi che hanno il termine y 'sono raggruppati su un lato dell'uguaglianza
3y 3 + y 2 - y = -9xy 2 y '+ 2 y' + x y '
Il fattore comune y 'viene estratto dal lato destro dell'uguaglianza
3y 3 + y 2 - y = y '(-9xy 2 + x + 2)
Infine il termine che moltiplica y 'viene cancellato. Ottenendo così l'espressione corrispondente alla derivata implicita di y rispetto a x.
y '= dy / dx = (3y 3 + y 2 - y) / (- 9xy 2 + x + 2)
Regola di derivazione
Nella derivazione implicita la regola della catena è sempre rispettata. Tutte le espressioni differenziali saranno date come funzione della variabile indipendente X. Quindi ogni variabile θ diversa da X, deve includere il termine dθ / dx dopo essere stata derivata.
Questo termine apparirà solo in primo grado o con un esponente pari a 1. Questa qualità lo rende completamente chiaro con i metodi di factoring tradizionali. È quindi possibile ottenere l'espressione che definisce il differenziale dθ / dx.
La regola della catena mostra la natura progressiva del processo di differenziazione o derivato. Dove per ogni funzione composta f, abbiamo che l'espressione differenziale di f sarà
Ordine operativo
In ogni formula o legge di derivazione applicata, si deve tenere conto dell'ordine delle variabili. I criteri associati alla variabile indipendente vengono rispettati, senza alterarne la correlazione con la variabile dipendente.
La relazione della variabile dipendente al momento della derivazione viene presa direttamente; Con l'eccezione che questa sarà considerata come una seconda funzione, motivo per cui viene applicato il criterio della regola della catena per le funzioni miste.
Questo può essere sviluppato in espressioni con più di 2 variabili. Con gli stessi principi saranno indicati tutti i differenziali riferiti alle variabili dipendenti.
Graficamente viene gestito lo stesso criterio che definisce la derivata. Mentre la derivata è la pendenza della linea tangente alla curva nel piano, il resto dei differenziali appartenenti alle variabili dipendenti (dy / dx, dz / dx) rappresentano piani tangenti ai corpi vettoriali descritti dalle funzioni di variabili multiple.
Implicito
Si dice che una funzione sia definita implicitamente se l'espressione y = f (x) può essere rappresentata come una funzione di variabili multiple F (x, y) = 0 fintanto che F è definita nel piano R 2 .
3xy 3 - 2y + xy 2 = xy può essere scritto nella forma 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0
Vista l'impossibilità di rendere esplicita la funzione y = f (x).
Storia
Il calcolo differenziale iniziò ad essere nominato da vari ricercatori matematici intorno al diciassettesimo secolo. La prima volta che è stato menzionato è stato attraverso i contributi di Newton e Leibniz. Entrambi hanno trattato il calcolo differenziale da diversi punti di vista, ma convergenti nei loro risultati.
Mentre Newton si concentrava sulla differenziazione come velocità o tasso di cambiamento, l'approccio di Leibniz era più geometrico. Si può dire che Newton abbia attaccato le congetture lasciate da Apollonio di Perge e Leibniz le idee geometriche di Fermat.
La derivazione implicita appare immediatamente quando si considerano le equazioni differenziale e integrale. Questi hanno esteso il concetto geometrico di Leibniz a R 3 e persino a spazi multidimensionali.
applicazioni
I derivati impliciti vengono utilizzati in varie situazioni. Sono comuni nei problemi di cambio tra variabili correlate, dove, a seconda del senso dello studio, le variabili saranno considerate dipendenti o indipendenti.
Hanno anche interessanti applicazioni geometriche, come nei problemi di riflessione o ombra, su figure la cui forma può essere modellata matematicamente.
Sono frequentemente utilizzati nei settori dell'economia e dell'ingegneria, nonché in varie indagini su fenomeni naturali e edifici sperimentali.
Esercizi risolti
Esercizio 1
Definisci l'espressione implicita che definisce dy / dx
Ogni elemento dell'espressione è differenziato
Stabilire la regola della catena in ogni caso competente
Raggruppando su un lato dell'uguaglianza gli elementi che hanno dy / dx
Viene scomposto utilizzando il fattore comune
Si risolve ottenendo l'espressione ricercata
Esercizio 2
Definisci l'espressione implicita che definisce dy / dx
Esprimere i derivati da eseguire
Derivare implicitamente secondo la regola della catena
Fattorizzazione di elementi comuni
Raggruppare il termine dy / dx su un lato dell'uguaglianza
Fattore comune all'elemento differenziale
Isoliamo e otteniamo l'espressione ricercata
Riferimenti
- Calcolo di una singola variabile. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 novembre 2008
- Teorema della funzione implicita: storia, teoria e applicazioni. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 novembre. 2012
- Analisi multivariabile. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 dicembre. 2010
- Dinamica dei sistemi: modellazione, simulazione e controllo di sistemi meccatronici. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 marzo 2012
- Calcolo: matematica e modellazione. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 gennaio 1999