QUADRILATERO: ELEMENTI, PROPRIETÀ, CLASSIFICAZIONE, ESEMPI - MATEMATICA - 2024

Un quadrilatero è un poligono con quattro lati e quattro vertici. I suoi lati opposti sono quelli che non hanno vertici in comune, mentre i lati consecutivi sono quelli che hanno un vertice comune.

In un quadrilatero, gli angoli adiacenti condividono un lato, mentre gli angoli opposti non hanno lati in comune. Un'altra caratteristica importante di un quadrilatero è che la somma dei suoi quattro angoli interni è il doppio dell'angolo del piano, cioè 360º o 2π radianti.

Figura 1. Vari quadrilateri. Fonte: F. Zapata.

Le diagonali sono i segmenti che uniscono un vertice con il suo opposto e in un dato quadrilatero, una singola diagonale può essere disegnata da ogni vertice. Il numero totale di diagonali in un quadrilatero è due.

I quadrilateri sono figure note all'umanità sin dai tempi antichi. I documenti archeologici, così come le costruzioni che sopravvivono oggi, lo attestano.

Allo stesso modo, oggi i quadrilateri continuano ad avere una presenza importante nella vita quotidiana di tutti. Il lettore può trovare questo modulo sullo schermo su cui sta leggendo il testo in questo preciso momento, su finestre, porte, parti di automobili e innumerevoli altri luoghi.

Classificazione quadrilatera

Secondo il parallelismo dei lati opposti, i quadrilateri sono classificati come segue:

1. Trapezoidale, quando non c'è parallelismo e il quadrilatero è convesso.
2. Trapezoidale, quando c'è parallelismo tra una singola coppia di lati opposti.
3. Parallelogramma, quando i suoi lati opposti sono paralleli a due a due.

Figura 2. Classificazione e sottoclassificazione dei quadrilateri. Fonte: Wikimedia Commons.

Tipi di parallelogramma

A loro volta, i parallelogrammi possono essere classificati in base ai loro angoli e ai loro lati come segue:

1. Il rettangolo è il parallelogramma che ha i suoi quattro angoli interni di uguale misura. Gli angoli interni di un rettangolo formano un angolo retto (90º).
2. Quadrato, è un rettangolo con i suoi quattro lati di uguale misura.
3. Il rombo è il parallelogramma con i suoi quattro lati uguali, ma angoli adiacenti diversi.
4. Romboidale, parallelogramma con diversi angoli adiacenti.

Trapezio

Il trapezio è un quadrilatero convesso con due lati paralleli.

Figura 3. Basi, lati, altezza e mediana di un trapezio. Fonte: Wikimedia Commons.

- In un trapezio i lati paralleli sono chiamati basi e quelli non paralleli sono chiamati laterali.

- L'altezza di un trapezio è la distanza tra le due basi, cioè la lunghezza di un segmento con estremità alle basi e perpendicolare ad esse. Questo segmento è anche chiamato altezza del trapezio.

- La mediana è il segmento che unisce i punti medi delle laterali. Si può dimostrare che la mediana è parallela alle basi del trapezio e la sua lunghezza è uguale al semisum delle basi.

- L'area di un trapezio è la sua altezza moltiplicata per la semi-somma delle basi:

Tipi di trapezi

- Trapezio rettangolare : è quello con un lato perpendicolare alle basi. Questo lato è anche l'altezza del trapezio.

-Isoscele trapezoidale : quello con lati di uguale lunghezza. In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti alle basi sono uguali.

-Scalene trapezio : quella con i suoi lati di diverse lunghezze. I suoi angoli opposti possono essere uno acuto e l'altro ottuso, ma può anche accadere che entrambi siano ottusi o entrambi acuti.

Figura 4. Tipi di trapezio. Fonte: F. Zapata.

parallelogrammo

Il parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a due a due. In un parallelogramma gli angoli opposti sono uguali e gli angoli adiacenti sono supplementari, o in altre parole, gli angoli adiacenti si sommano fino a 180º.

Se un parallelogramma ha un angolo retto, lo saranno anche tutti gli altri angoli e la figura risultante è chiamata rettangolo. Ma se il rettangolo ha anche i suoi lati adiacenti della stessa lunghezza, allora tutti i suoi lati sono uguali e la figura risultante è un quadrato.

Figura 5. Parallelogrammi. Il rettangolo, il quadrato e il rombo sono parallelogrammi. Fonte: F. Zapata.

Quando un parallelogramma ha due lati adiacenti della stessa lunghezza, tutti i suoi lati avranno la stessa lunghezza e la figura risultante è un rombo.

L'altezza di un parallelogramma è un segmento con estremità sui lati opposti e perpendicolari ad essi.

Area di un parallelogramma

L'area di un parallelogramma è il prodotto della base per la sua altezza, essendo la base un lato perpendicolare all'altezza (figura 6).

Diagonali di un parallelogramma

Il quadrato della diagonale che parte da un vertice è uguale alla somma dei quadrati dei due lati adiacenti a detto vertice più il doppio prodotto di quei lati per il coseno dell'angolo di quel vertice:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Figura 6. Parallelogramma. Angoli opposti, altezza, diagonali. Fonte: F. Zapata.

Il quadrato della diagonale opposta al vertice di un parallelogramma è uguale alla somma dei quadrati dei due lati adiacenti a detto vertice e sottraendo il doppio prodotto di quei lati per il coseno dell'angolo di quel vertice:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Legge dei parallelogrammi

In qualsiasi parallelogramma, la somma dei quadrati dei suoi lati è uguale alla somma dei quadrati delle diagonali:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Il rettangolo è un quadrilatero con i lati opposti paralleli a due a due e che ha anche un angolo retto. In altre parole, il rettangolo è un tipo di parallelogramma con un angolo retto. Poiché è un parallelogramma, il rettangolo ha lati opposti di uguale lunghezza a = ce b = d.

Ma come in ogni parallelogramma gli angoli adiacenti sono supplementari e gli angoli opposti sono uguali, nel rettangolo perché ha un angolo retto, formerà necessariamente angoli retti negli altri tre angoli. In altre parole, in un rettangolo tutti gli angoli interni misurano 90º o π / 2 radianti.

Diagonali di un rettangolo

In un rettangolo le diagonali sono di uguale lunghezza, come verrà dimostrato di seguito. Il ragionamento è il seguente; Un rettangolo è un parallelogramma con tutti i suoi angoli retti e quindi eredita tutte le proprietà del parallelogramma, compresa la formula che dà la lunghezza delle diagonali:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

con α = 90º

Poiché Cos (90º) = 0, allora accade che:

f ² = g ² = a ² + d ²

Cioè, f = g, e quindi le lunghezze feg delle due diagonali del rettangolo sono uguali e la loro lunghezza è data da:

Inoltre, se in un rettangolo con lati adiacenti aeb si prende come base un lato, l'altro lato sarà in altezza e di conseguenza l'area del rettangolo sarà:

Area del rettangolo = ax b.

Il perimetro è la somma di tutti i lati del rettangolo, ma poiché gli opposti sono uguali, ne consegue che per un rettangolo di lati aeb il perimetro è dato dalla seguente formula:

Perimetro del rettangolo = 2 (a + b)

Figura 7. Rettangolo con i lati a e b. Le diagonali f e g sono di uguale lunghezza. Fonte: F. Zapata.

Piazza

Il quadrato è un rettangolo con i lati adiacenti della stessa lunghezza. Se il quadrato ha il lato a, le sue diagonali f e g hanno la stessa lunghezza, che è f = g = (√2) a.

L'area di un quadrato è il suo lato quadrato:

Area di un quadrato = a ²

Il perimetro di un quadrato è il doppio del lato:

Perimetro di un quadrato = 4 a

Figura 8. Quadrato con lato a, indicante la sua area, il suo perimetro e la lunghezza delle sue diagonali. Fonte: F. Zapata ..

Diamante

Il rombo è un parallelogramma con i lati adiacenti della stessa lunghezza, ma poiché in un parallelogramma i lati opposti sono uguali, allora tutti i lati di un rombo sono uguali in lunghezza.

Le diagonali di un rombo sono di lunghezza diversa, ma si intersecano ad angolo retto.

Figura 9. Rombo di lato a, indicante la sua area, il suo perimetro e la lunghezza delle sue diagonali. Fonte: F. Zapata.

Esempi

Esempio 1

Mostra che in un quadrilatero (non incrociato) gli angoli interni si sommano fino a 360º.

Figura 10: Viene mostrato come la somma degli angoli di un quadrilatero si somma a 360º. Fonte: F. Zapata.

Si considera un quadrilatero ABCD (vedi figura 10) e si traccia la diagonale BD. Si formano due triangoli ABD e BCD. La somma degli angoli interni del triangolo ABD è:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

E la somma degli angoli interni del triangolo BCD è:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Sommando le due equazioni otteniamo:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Raggruppamento:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Raggruppando e rinominando, è finalmente dimostrato che:

α + β + δ + γ = 360º

Esempio 2

Mostra che la mediana di un trapezio è parallela alle sue basi e la sua lunghezza è il semisum delle basi.

Figura 11. MN mediano del trapezio ABCD. Fonte: F. Zapata.

La mediana di un trapezio è il segmento che unisce i punti medi dei suoi lati, cioè i lati non paralleli. Nel trapezio ABCD mostrato in figura 11 la mediana è MN.

Poiché M è il punto medio di AD e N è il punto medio di BC, i rapporti AM / AD e BN / BC sono uguali.

Cioè, AM è proporzionale a BN nella stessa proporzione di AD è a BC, quindi sono fornite le condizioni per l'applicazione del teorema di Talete (reciproco), che afferma quanto segue:

"Se i segmenti proporzionali sono determinati in tre o più linee tagliate da due secanti, allora queste linee sono tutte parallele."

Nel nostro caso si conclude che le rette MN, AB e DC sono parallele tra loro, quindi:

"La mediana di un trapezio è parallela alle sue basi."

Ora verrà applicato il teorema di Talete:

"Un insieme di paralleli tagliati da due o più secanti determina i segmenti proporzionali."

Nel nostro caso AD = 2 AM, AC = 2 AO, quindi il triangolo DAC è simile al triangolo MAO, e di conseguenza DC = 2 MO.

Un argomento simile ci permette di affermare che CAB è simile a CON, dove CA = 2 CO e CB = 2 CN. Ne consegue immediatamente che AB = 2 ON.

In breve, AB = 2 ON e DC = 2 MO. Quindi quando si aggiunge abbiamo:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Infine MN viene cancellato:

MN = (AB + DC) / 2

E si conclude che la mediana di un trapezio misura la semi-somma delle basi, o in altre parole: la mediana misura la somma delle basi, divisa per due.

Esempio 3

Mostra che in un rombo le diagonali si intersecano ad angolo retto.

Figura 12. Rombo e dimostrazione che le sue diagonali si intersecano ad angolo retto. Fonte: F. Zapata.

La lavagna in figura 12 mostra la costruzione necessaria. Per prima cosa si disegna il parallelogramma ABCD con AB = BC, cioè un rombo. Le diagonali AC e DB determinano gli otto angoli mostrati in figura.

Usando il teorema (aip) che afferma che angoli interni alternati tra paralleli tagliati da una secante determinano angoli uguali, possiamo stabilire quanto segue:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ e δ2 = β2. (*)

D'altra parte, poiché i lati adiacenti di un rombo sono di uguale lunghezza, vengono determinati quattro triangoli isosceli:

DAB, BCD, CDA e ABC

Ora viene invocato il teorema del triangolo (isoscele), che afferma che gli angoli adiacenti alla base sono di uguale misura, da cui si conclude che:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ e α ₁ = γ2 (**)

Se le relazioni (*) e (**) sono combinate, si raggiunge la seguente uguaglianza di angoli:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ da un lato e β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 dall'altro.

Ricordando il teorema dei triangoli uguali che afferma che due triangoli con un lato uguale tra due angoli uguali sono uguali, abbiamo:

AOD = AOB e di conseguenza anche gli angoli ∡AOD = ∡AOB.

Allora ∡AOD + ∡AOB = 180º, ma poiché entrambi gli angoli sono di uguale misura, abbiamo 2 ∡AOD = 180º che implica che ∡AOD = 90º.

Cioè, è mostrato geometricamente che le diagonali di un rombo si intersecano ad angolo retto.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Mostra che in un trapezio retto, gli angoli non retti sono supplementari.

Soluzione

Figura 13. Trapezio destro. Fonte: F. Zapata.

Il trapezio ABCD è costruito con basi AB e DC parallele. L'angolo interno del vertice A è giusto (misura 90º), quindi abbiamo un trapezio destro.

Gli angoli α e δ sono angoli interni tra due paralleli AB e DC, quindi sono uguali, cioè δ = α = 90º.

D'altra parte, è stato dimostrato che la somma degli angoli interni di un quadrilatero si somma a 360º, ovvero:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Quanto sopra porta a:

β + δ = 180º

A conferma di quanto si voleva dimostrare, che gli angoli β e δ sono supplementari.

- Esercizio 2

Un parallelogramma ABCD ha AB = 2 cm e AD = 1 cm, inoltre l'angolo BAD è 30º. Determina l'area di questo parallelogramma e la lunghezza delle sue due diagonali.

Soluzione

L'area di un parallelogramma è il prodotto della lunghezza della sua base e della sua altezza. In questo caso si prenderà come base la lunghezza del segmento b = AB = 2 cm, l'altro lato avrà lunghezza a = AD = 1 cm e l'altezza h sarà calcolata come segue:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Quindi: Area = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Riferimenti

1. CEA (2003). Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematica 2. Grupo Editorial Patria.
3. Liberato, K. (2007). Scopri i poligoni. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Poligoni generalizzati. Birkhäuser.
5. IGER. (Sf). Matematica Primo semestre Tacaná. IGER.
6. Jr. geometria. (2014). Poligoni. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matematica: ragionamento e applicazioni (decima edizione). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematica 5. Editoriale Progreso.
9. Wikipedia. Quadrilateri. Estratto da: es.wikipedia.com