- Cambio di coordinate
- Base vettoriale in coordinate cilindriche
- Esempi
- Esempio 1
- Esempio 2
- Esercizi risolti
- Esercizio 1
- Esercizio 2
- Esercizio 3
- Esercizio 4
- Riferimenti
Le coordinate cilindriche vengono utilizzate per individuare i punti nello spazio tridimensionale e sono costituite da una coordinata radiale ρ, una coordinata azimutale φ e una coordinata z dell'altezza.
Un punto P situato nello spazio viene proiettato ortogonalmente sul piano XY dando origine al punto P 'in quel piano. La distanza dall'origine al punto P 'definisce la coordinata ρ, mentre l'angolo tra l'asse X e il raggio OP' definisce la coordinata φ. Infine, la coordinata z è la proiezione ortogonale del punto P sull'asse Z. (vedi figura 1).
Figura 1. Punto P delle coordinate cilindriche (ρ, φ, z). (Elaborazione propria)
La coordinata radiale ρ è sempre positiva, la coordinata azimutale φ varia da zero radianti a due pi radianti, mentre la coordinata z può assumere qualsiasi valore reale:
0 ≤ ρ <∞
0 ≤ φ <2π
- ∞ <z <+ ∞
Cambio di coordinate
È relativamente facile ottenere le coordinate cartesiane (x, y, z) di un punto P dalle sue coordinate cilindriche (ρ, φ, z):
x = ρ cos (φ)
y = ρ sin (φ)
z = z
Ma è anche possibile ottenere le coordinate polari (ρ, φ, z) partendo dalla conoscenza delle coordinate cartesiane (x, y, z) di un punto P:
ρ = √ (x 2 + y 2 )
φ = arctan (y / x)
z = z
Base vettoriale in coordinate cilindriche
La base dei vettori unitari cilindrici Uρ , Uφ , Uz è definita .
Il vettore Uρ è tangente alla linea φ = ctte ez = ctte (che punta radialmente verso l'esterno), il vettore Uφ è tangente alla linea ρ = ctte ez = ctte e infine Uz ha la stessa direzione dell'asse Z.
Figura 2. Base di coordinate cilindrica. (Wikimedia Commons)
Nella base unitaria cilindrica, il vettore di posizione r di un punto P è scritto vettorialmente in questo modo:
r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz
D'altra parte, uno spostamento infinitesimale d r dal punto P è espresso come segue:
d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz
Allo stesso modo, un elemento infinitesimale di volume dV in coordinate cilindriche è:
dV = ρ dρ dφ dz
Esempi
Ci sono innumerevoli esempi di utilizzo e applicazione di coordinate cilindriche. In cartografia, ad esempio, viene utilizzata la proiezione cilindrica, basata proprio su queste coordinate. Ci sono altri esempi:
Esempio 1
Le coordinate cilindriche hanno applicazioni nella tecnologia. A titolo di esempio abbiamo il sistema CHS (Cylinder-Head-Sector) di localizzazione dei dati su un hard disk, che in realtà consiste di più dischi:
- Il cilindro o il binario corrisponde alla coordinata ρ.
- Il settore corrisponde alla posizione φ del disco che ruota ad alta velocità angolare.
- La testina corrisponde alla posizione z della testina di lettura sul disco corrispondente.
Ogni byte di informazione ha un indirizzo preciso in coordinate cilindriche (C, S, H).
Figura 2. Posizione delle informazioni in coordinate cilindriche su un sistema a disco rigido. (Wikimedia Commons)
Esempio 2
Le gru edili fissano la posizione del carico in coordinate cilindriche. La posizione orizzontale è definita dalla distanza dall'asse o freccia della gru ρ e dalla sua posizione angolare φ rispetto a qualche asse di riferimento. La posizione verticale del carico è determinata dalla coordinata z dell'altezza.
Figura 3. La posizione del carico su una gru da cantiere può essere facilmente espressa in coordinate cilindriche. (immagine pixabay - annotazioni R. Pérez)
Esercizi risolti
Esercizio 1
Ci sono punti P1 con coordinate cilindriche (3, 120º, -4) e punto P2 con coordinate cilindriche (2, 90º, 5). Trova la distanza euclidea tra questi due punti.
Soluzione: Per prima cosa, procediamo per trovare le coordinate cartesiane di ogni punto seguendo la formula che è stata data sopra.
P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)
P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)
La distanza euclidea tra P1 e P2 è:
d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) 2 + (2 - 2,60) 2 + (5 - (- 4)) 2 ) =…
… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14
Esercizio 2
Il punto P ha coordinate cartesiane (-3, 4, 2). Trova le coordinate cilindriche corrispondenti.
Soluzione: procediamo per trovare le coordinate cilindriche utilizzando le relazioni sopra riportate:
ρ = √ (x 2 + y 2 ) = √ ((- 3) 2 + 4 2 ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º
z = 2
Va ricordato che la funzione arcotangente è multivalore con periodicità di 180º. Inoltre, l'angolo φ deve appartenere al secondo quadrante, poiché le coordinate xey del punto P si trovano in quel quadrante. Questo è il motivo per cui 180º è stato aggiunto al risultato φ.
Esercizio 3
Esprimere in coordinate cilindriche e in coordinate cartesiane la superficie di un cilindro di raggio 2 e il cui asse coincide con l'asse Z.
Soluzione: Resta inteso che il cilindro ha un'estensione infinita nella direzione z, quindi l'equazione di detta superficie in coordinate cilindriche è:
ρ = 2
Per ottenere l'equazione cartesiana della superficie cilindrica, si prende il quadrato di entrambi i membri dell'equazione precedente:
ρ 2 = 4
Moltiplichiamo entrambi i membri dell'uguaglianza precedente per 1 e applichiamo l'identità trigonometrica fondamentale (sin 2 (φ) + cos 2 (φ) = 1):
1 * ρ 2 = 1 * 4
(sin 2 (φ) + cos 2 (φ)) * ρ 2 = 1 * 4
La parentesi si sviluppa per ottenere:
(ρ sin (φ)) 2 + (ρ cos (φ)) 2 = 4
Ricordiamo che la prima parentesi (ρ sin (φ)) è la coordinata y di un punto in coordinate polari, mentre le parentesi (ρ cos (φ)) rappresenta la coordinata x, quindi abbiamo l'equazione del cilindro in coordinate Cartesiano:
y 2 + x 2 = 2 2
L'equazione di cui sopra non deve essere confusa con quella di una circonferenza nel piano XY, poiché in questo caso sarebbe simile a questa: {y 2 + x 2 = 2 2 ; z = 0}.
Esercizio 4
Un cilindro di raggio R = 1 me altezza H = 1 m ha la sua massa distribuita radialmente secondo la seguente equazione D (ρ) = C (1 - ρ / R) dove C è una costante di valore C = 1 kg / m 3 . Trova la massa totale del cilindro in chilogrammi.
Soluzione: la prima cosa è rendersi conto che la funzione D (ρ) rappresenta la densità di massa volumetrica e che la densità di massa è distribuita in gusci cilindrici di densità decrescente dal centro alla periferia. Un elemento infinitesimale di volume secondo la simmetria del problema è:
dV = ρ dρ 2π H
Quindi, la massa infinitesimale di un guscio cilindrico sarà:
dM = D (ρ) dV
Pertanto, la massa totale del cilindro sarà espressa dal seguente integrale definito:
M = ∫ o R D (ρ) dV = ∫ o R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ o R (1 - ρ / R) ρ dρ
La soluzione dell'integrale indicato non è difficile da ottenere, il suo risultato è:
∫ o R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R 2
Incorporando questo risultato nell'espressione della massa del cilindro, otteniamo:
M = 2π HC (⅙) R 2 = ⅓ π HCR 2 =
⅓ π 1 m * 1 kg / m 3 * 1 m 2 = π / 3 kg ≈ 1,05 kg
Riferimenti
- Arfken G e Weber H. (2012). Metodi matematici per fisici. Una guida completa. 7a edizione. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
- Calcolo cc. Risolti problemi di coordinate cilindriche e sferiche. Estratto da: calculo.cc
- Weisstein, Eric W. "coordinate cilindriche". Da MathWorld - Un Web Wolfram. Estratto da: mathworld.wolfram.com
- wikipedia. Sistema di coordinate cilindrico. Estratto da: en.wikipedia.com
- wikipedia. Campi vettoriali in coordinate cilindriche e sferiche. Estratto da: en.wikipedia.com