CONGRUENZA: CIFRE CONGRUENTI, CRITERI, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

La congruenza in geometria dice che se due figure piane hanno la stessa forma e dimensioni, queste sono congruenti. Ad esempio, due segmenti sono congruenti quando le loro lunghezze sono uguali. Allo stesso modo, gli angoli congruenti hanno la stessa misura, anche se non sono orientati nello stesso modo nel piano.

Il termine "congruenza" deriva dal latino congruentia, il cui significato è corrispondenza. Quindi, due cifre congruenti corrispondono esattamente l'una all'altra.

Figura 1. I quadrilateri ABCD e A'B'C'D 'nella figura sono congruenti: i loro lati hanno la stessa misura, così come i loro angoli interni. Fonte: F. Zapata.

Ad esempio, se sovrapponiamo i due quadrilateri nell'immagine, troveremo che sono congruenti, poiché la disposizione dei loro lati è identica e misurano la stessa cosa.

Posizionando i quadrilateri ABCD e A'B'C'D 'uno sopra l'altro, le cifre corrisponderanno esattamente. I lati coincidenti sono chiamati lati omologhi o corrispondenti e il simbolo ≡ viene utilizzato per esprimere congruenza. Quindi possiamo dire che ABCD ≡ A'B'C'D '.

Criteri di congruenza

Le seguenti caratteristiche sono comuni ai poligoni congruenti:

-La stessa forma e dimensione.

-Misure identiche dei loro angoli.

-La stessa misura su ciascuno dei suoi lati.

Nel caso in cui due poligoni in questione siano regolari, cioè che tutti i lati e gli angoli interni misurino lo stesso, la congruenza è assicurata quando si verifica una delle seguenti condizioni:

-I lati sono congruenti

-Gli apothems hanno la stessa misura

-Il raggio di ogni poligono misura lo stesso

L'apotema di un poligono regolare è la distanza tra il centro e uno dei lati, mentre il raggio corrisponde alla distanza tra il centro e un vertice o angolo della figura.

I criteri di congruenza sono usati frequentemente perché così tante parti e pezzi di tutti i tipi sono prodotti in serie e devono avere la stessa forma e dimensioni. In questo modo possono essere facilmente sostituiti quando necessario, ad esempio dadi, bulloni, lamiere o le pietre del selciato a terra in strada.

Figura 2. Le pietre del selciato della strada sono figure congruenti, poiché la loro forma e dimensioni sono esattamente le stesse, sebbene il loro orientamento sul pavimento possa cambiare. Fonte: Pixabay.

Congruenza, identità e somiglianza

Esistono concetti geometrici relativi alla congruenza, ad esempio figure identiche e figure simili, che non implicano necessariamente che le figure siano congruenti.

Si noti che le figure congruenti sono identiche, tuttavia i quadrilateri nella Figura 1 potrebbero essere orientati in modi diversi sul piano e rimanere comunque congruenti, poiché il diverso orientamento non cambia la dimensione dei loro lati o dei loro angoli. In tal caso non sarebbero più identici.

L'altro concetto è quello della somiglianza delle figure: due figure piane sono simili se hanno la stessa forma e i loro angoli interni misurano lo stesso, sebbene le dimensioni delle figure possano essere diverse. Se questo è il caso, le cifre non sono congruenti.

Esempi di congruenza

- Congruenza degli angoli

Come abbiamo indicato all'inizio, gli angoli congruenti hanno la stessa misura. Esistono diversi modi per ottenere angoli congruenti:

Esempio 1

Due linee con un punto in comune definiscono due angoli, chiamati angoli opposti a causa del vertice. Questi angoli hanno la stessa misura, quindi sono congruenti.

Figura 3. Angoli opposti dal vertice. Fonte: Wikimedia Commons.

Esempio 2

Ci sono due rette parallele più una retta t che le interseca entrambe. Come nell'esempio precedente, quando questa linea interseca i paralleli genera angoli congruenti, uno su ciascuna linea a destra e altri due a sinistra. La figura mostra α e α ₁ , a destra della retta t, che sono congruenti.

Figura 4. Gli angoli mostrati nella figura sono congruenti. Fonte: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Esempio 3

In un parallelogramma ci sono quattro angoli interni, che sono congruenti da due a due. Sono quelli tra vertici opposti, come mostrato nella figura seguente, in cui i due angoli in verde sono congruenti, così come i due angoli in rosso.

Figura 5. Gli angoli interni del parallelogramma sono congruenti a due a due. Fonte: Wikimedia Commons.

- Congruenza dei triangoli

Due triangoli della stessa forma e dimensione sono congruenti. Per verificarlo ci sono tre criteri che possono essere esaminati alla ricerca della congruenza:

- Criterio LLL : i tre lati dei triangoli hanno le stesse misure, quindi L ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ e L ₃ = L' _3.

Figura 6. Esempio di triangoli congruenti, i cui lati misurano lo stesso. Fonte: F. Zapata.

- Criteri ALA e AAL : i triangoli hanno due angoli interni uguali e il lato tra questi angoli ha la stessa misura.

Figura 7. Criteri ALA e AAL per la congruenza triangolare. Fonte: Wikimedia Commons.

- Criterio LAL : due dei lati sono identici (corrispondenti) e c'è lo stesso angolo tra di loro.

Figura 8. Criterio LAL per la congruenza dei triangoli. Fonte: Wikimedia Commons.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Nella figura seguente sono mostrati due triangoli: ΔABC e ΔECF. È noto che AC = EF, che AB = 6 e che CF = 10. Inoltre gli angoli ∡BAC e ∡FEC sono congruenti e anche gli angoli ∡ACB e ∡FCB sono congruenti.

Figura 9. Triangoli per l'esempio lavorato 1. Fonte: F. Zapata.

Quindi la lunghezza del segmento BE è uguale a:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Soluzione

Poiché i due triangoli hanno un lato di uguale lunghezza AC = EF compreso tra gli angoli uguali ∡BAC = ∡CEF e ∡BCA = ∡CFE, si può dire che i due triangoli sono congruenti al criterio ALA.

Cioè, ΔBAC ≡ ΔCEF, quindi dobbiamo:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Ma il segmento da calcolare è BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Quindi la risposta corretta è (iii).

- Esercizio 2

Tre triangoli sono mostrati nella figura sotto. È anche noto che i due angoli indicati misurano 80º ciascuno e che i segmenti AB = PD e AP = CD. Trova il valore dell'angolo X indicato in figura.

Figura 10. Triangoli per l'esempio risolto 2. Fonte: F. Zapata.

Soluzione

Devi applicare le proprietà dei triangoli, che sono dettagliate passo dopo passo.

Passo 1

Partendo dal criterio di congruenza del triangolo LAL, si può affermare che i triangoli BAP e PDC sono congruenti:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Passo 2

Quanto sopra porta ad affermare che BP = PC, quindi il triangolo ΔBPC è isoscele e ∡PCB = ∡PBC = X.

Passaggio 3

Se chiamiamo l'angolo BPC γ, ne segue che:

2x + γ = 180º

Passaggio 4

E se chiamiamo gli angoli APB e DCP β e α gli angoli ABP e DPC, abbiamo:

α + β + γ = 180º (poiché APB è un angolo piano).

Passaggio 5

Inoltre, α + β + 80º = 180º dalla somma degli angoli interni del triangolo APB.

Passaggio 6

Combinando tutte queste espressioni abbiamo:

α + β = 100º

Passaggio 7

E quindi:

γ = 80º.

Passaggio 8

Infine ne consegue che:

2X + 80º = 180º

Con X = 50º.

Riferimenti

1. Baldor, A. 1973. Plane and Space Geometry. Centro culturale americano.
2. Fondazione CK-12. Poligoni congruenti. Estratto da: ck 12.org.
3. Goditi la matematica. Definizioni: raggio (poligono). Estratto da: goditi thematics.com.
4. Math Open Reference. Test di congruenza di poligoni. Estratto da: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Congruenza (geometria). Estratto da: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Triangoli, storia, elementi, classificazione, proprietà. Estratto da: lifeder.com.