- Come trovare l'area di un pentagono?
- Area di un pentagono regolare
- Area di un pentagono irregolare
- Determinante gaussiano
- Riferimenti
L' area di un pentagono viene calcolata utilizzando un metodo noto come triangolazione, che può essere applicato a qualsiasi poligono. Questo metodo consiste nel dividere il pentagono in diversi triangoli.
Successivamente, viene calcolata l'area di ogni triangolo e infine vengono aggiunte tutte le aree trovate. Il risultato sarà l'area del pentagono.
Il pentagono potrebbe anche essere diviso in altre forme geometriche, come un trapezio e un triangolo, come la figura a destra.
Il problema è che la lunghezza della base maggiore e l'altezza del trapezio non sono facili da calcolare. Inoltre, è necessario calcolare l'altezza del triangolo rosso.
Come trovare l'area di un pentagono?
Il metodo generale per calcolare l'area di un pentagono è la triangolazione, ma il metodo può essere semplice o un po 'più lungo a seconda che il pentagono sia regolare o meno.
Area di un pentagono regolare
Prima di calcolare l'area è necessario sapere qual è l'apotema.
L'apotema di un pentagono regolare (poligono regolare) è la distanza più piccola dal centro del pentagono (poligono) al punto medio di un lato del pentagono (poligono).
In altre parole, l'apotema è la lunghezza del segmento di linea che va dal centro del pentagono al punto medio di un lato.
Consideriamo un pentagono regolare tale che la lunghezza dei suoi lati sia "L". Per calcolare il suo apotema, prima dividi l'angolo centrale α per il numero di lati, cioè α = 360º / 5 = 72º.
Ora, utilizzando i rapporti trigonometrici, la lunghezza dell'apotema viene calcolata come mostrato nell'immagine seguente.
Pertanto, l'apotema ha una lunghezza di L / 2tan (36º) = L / 1,45.
Triangolando il pentagono si otterrà una figura come quella sotto.
Tutti e 5 i triangoli hanno la stessa area (per essere un pentagono regolare). Quindi l'area del pentagono è 5 volte l'area di un triangolo. Ovvero: area di un pentagono = 5 * (L * ap / 2).
Sostituendo il valore dell'apotema, otteniamo che l'area è A = 1.72 * L².
Pertanto, per calcolare l'area di un pentagono regolare, è sufficiente conoscere la lunghezza di un lato.
Area di un pentagono irregolare
Partiamo da un pentagono irregolare, tale che le lunghezze dei suoi lati siano L1, L2, L3, L4 e L5. In questo caso, l'apotema non può essere utilizzato come prima.
Dopo aver eseguito la triangolazione, si ottiene una figura come la seguente:
Ora procediamo a disegnare e calcolare le altezze di questi 5 triangoli interni.
Quindi le aree dei triangoli interni sono T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 e T5 = L5 * h5 / 2.
I valori di h1, h2, h3, h4 e h5 sono rispettivamente le altezze di ciascun triangolo.
Infine l'area del pentagono è la somma di queste 5 aree. Cioè, A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.
Come puoi vedere, calcolare l'area di un pentagono irregolare è più complesso che calcolare l'area di un pentagono regolare.
Determinante gaussiano
Esiste anche un altro metodo con cui è possibile calcolare l'area di qualsiasi poligono irregolare, noto come determinante gaussiano.
Questo metodo consiste nel disegnare il poligono sul piano cartesiano, quindi vengono calcolate le coordinate di ogni vertice.
I vertici vengono enumerati in senso antiorario e infine vengono calcolate alcune determinanti per ottenere finalmente l'area del poligono in questione.
Riferimenti
- Alexander, DC e Koeberlein, GM (2014). Geometria elementare per studenti universitari. Cengage Learning.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
- Lofret, EH (2002). Il libro delle tabelline e delle formule / Il libro delle tabelline e delle formule. Fantasioso.
- Palmer, CI e Bibb, SF (1979). Matematica pratica: aritmetica, algebra, geometria, trigonometria e regolo calcolatore (ristampa ed.). Reverte.
- Posamentier, AS e Bannister, RL (2014). Geometria, suoi elementi e struttura: seconda edizione. Courier Corporation.
- Quintero, AH e Costas, N. (1994). Geometria. L'Editoriale, UPR.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Editoriale Tecnologica de CR.
- Torah, FB (2013). Matematica. 1 ° unità didattica 1 ° ESO, Volume 1. Redazione Club Universitario.
- Víquez, M., Arias, R. e Araya, J. (sf). Matematica (sesto anno). EUNED.