BINOMIO CONIUGATO: COME RISOLVERLO, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

Un binomio coniugato di un altro binomio è quello in cui sono differenziati solo da un segno dell'operazione. Il binomio, come suggerisce il nome, è una struttura algebrica composta da due termini.

Alcuni esempi di binomi sono: (a + b), (3m - n) e (5x - y). E i loro rispettivi binomi coniugati sono: (a - b), (-3m - n) e (5x + y). Come si vede subito, la differenza è nel segno.

Figura 1. Un binomio e il suo binomio coniugato. Hanno gli stessi termini, ma differiscono nel segno. Fonte: F. Zapata.

Un binomio moltiplicato per il suo coniugato si traduce in un prodotto straordinario ampiamente utilizzato in algebra e scienza. Il risultato della moltiplicazione è la sottrazione dei quadrati dei termini del binomio originale.

Ad esempio, (x - y) è un binomio e il suo coniugato è (x + y). Quindi, il prodotto dei due binomi è la differenza dei quadrati dei termini:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Come risolvi un binomio coniugato?

La regola dichiarata dei binomi coniugati è la seguente:

Come esempio di applicazione, inizieremo dimostrando il risultato precedente, che può essere fatto utilizzando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma algebrica.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

La moltiplicazione di cui sopra è stata ottenuta seguendo questi passaggi:

- Il primo termine del primo binomio viene moltiplicato per il primo termine del secondo

- Poi il primo del primo, per il secondo del secondo

- Poi il secondo del primo dal primo del secondo

- Infine il secondo del primo per il secondo del secondo.

Ora facciamo una piccola modifica usando la proprietà commutativa: yx = xy. Assomiglia a questo:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Essendo presenti due termini uguali ma di segno opposto (evidenziati a colori e sottolineati), si annullano e si semplifica:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Infine, si applica che moltiplicare un numero per se stesso equivale a elevarlo al quadrato, in modo che xx = x ² e anche yy = y ² .

In questo modo si dimostra quanto indicato nella sezione precedente, che il prodotto di una somma e la sua differenza è la differenza dei quadrati:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Figura 2. Una somma per la sua differenza è una differenza di quadrati. Fonte: F. Zapata.

Esempi

- Binomi coniugati di varie espressioni

Esempio 1

Trova il coniugato di (y ² - 3y).

Risposta : (y ² + 3y)

Esempio 2

Ottieni il prodotto di (y ² - 3y) e il suo coniugato.

Risposta: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Esempio 3

Sviluppa il prodotto (1 + 2a). (2a -1).

Risposta: l'espressione precedente è equivalente a (2a + 1). (2a -1), cioè corrisponde al prodotto di un binomio e del suo coniugato.

È noto che il prodotto di un binomio per il suo binomio coniugato è uguale alla differenza dei quadrati dei termini del binomio:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Esempio 4

Scrivi il prodotto (x + y + z) (x - y - z) come differenza di quadrati.

Risposta: possiamo assimilare i trinomi di cui sopra alla forma binomiale coniugata, facendo un uso attento delle parentesi e delle parentesi quadre:

(x + y + z) (x - y - z) =

In questo modo si può applicare la differenza dei quadrati:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Esempio 5

Esprimi il prodotto (m ² - m -1). (M ² + m -1) come differenza di quadrati.

Risposta : l'espressione precedente è il prodotto di due trinomi. Deve prima essere riscritto come il prodotto di due binomi coniugati:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Applichiamo il fatto che il prodotto di un binomio per il suo coniugato è la differenza quadratica dei suoi termini, come è stato spiegato:

. = (M ² -1) ² - m ²

esercizi

Come sempre, inizi con gli esercizi più semplici e poi aumenti il ​​livello di complessità.

- Esercizio 1

Scrivi (9 - a ² ) come prodotto.

Soluzione

Innanzitutto, riscriviamo l'espressione come differenza di quadrati, in modo da applicare quanto spiegato in precedenza. Così:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Quindi fattorizziamo, che equivale a scrivere questa differenza di quadrati come un prodotto, come richiesto nell'istruzione:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 -a)

- Esercizio 2

Fattore 16x ² - 9y ⁴ .

Soluzione

Factoring un'espressione significa scriverla come un prodotto. In questo caso, è necessario riscrivere preventivamente l'espressione, per ottenere una differenza di quadrati.

Non è difficile farlo, poiché guardando attentamente, tutti i fattori sono quadrati perfetti. Ad esempio 16 è il quadrato di 4, 9 è il quadrato di 3 e ⁴ è il quadrato di y ² e x ² è il quadrato di x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Quindi applichiamo ciò che già sappiamo in precedenza: che una differenza di quadrati è il prodotto di binomi coniugati:

(4x) ² - (3 e ² ) ² = (4x - 3 e ² ). (4x + 3 e ² )

- Esercizio 3

Scrivi (a - b) come prodotto di binomi

Soluzione

La differenza di cui sopra dovrebbe essere scritta come differenze di quadrati

(√a) ² - (√b) ²

Quindi si applica che la differenza dei quadrati è il prodotto dei binomi coniugati

(√a - √b) (√a + √b)

- Esercizio 4

Uno degli usi del binomio coniugato è la razionalizzazione delle espressioni algebriche. Questa procedura consiste nell'eliminare le radici del denominatore di un'espressione frazionaria, che in molti casi facilita le operazioni. Si richiede di utilizzare il binomio coniugato per razionalizzare la seguente espressione:

√ (2-x) /

Soluzione

La prima cosa è identificare il binomio coniugato del denominatore :.

Ora moltiplichiamo il numeratore e il denominatore dell'espressione originale per il binomio coniugato:

√ (2-x) / {.}

Nel denominatore dell'espressione precedente riconosciamo il prodotto di una differenza per una somma, che già sappiamo corrisponde alla differenza dei quadrati dei binomi:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Semplificare il denominatore è:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Ora ci occupiamo del numeratore, per il quale applicheremo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

Nell'espressione precedente riconosciamo il prodotto del binomio (2-x) dal suo coniugato, che è il prodotto notevole uguale alla differenza dei quadrati. In questo modo si ottiene finalmente un'espressione razionalizzata e semplificata:

/ (1 - x)

- Esercizio 5

Sviluppa il seguente prodotto, utilizzando le proprietà del binomio coniugato:

.

Soluzione

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Il lettore attento avrà notato il fattore comune che è stato evidenziato a colori.

Riferimenti

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Editoriale Culturale Venezolana SA
2. González J. Esercizi binomiali coniugati. Estratto da: academia.edu.
3. Insegnante di matematica Alex. Prodotti notevoli. Recuperato da youtube.com.
4. Math2me. Binomi coniugati / prodotti notevoli. Recuperato da youtube.com.
5. Prodotti binomiali coniugati. Estratto da: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Binomi coniugati. Estratto da: youtube.com.