ANTIDERIVATIVO: FORMULE ED EQUAZIONI, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

Un F (x) antiderivativo di una funzione f (x) è anche detto primitivo o semplicemente integrale indefinito di detta funzione, se in un dato intervallo I è soddisfatto che F´ (x) = f (x)

Ad esempio, prendiamo la seguente funzione:

f (x) = 4x ³

Un antiderivativo di questa funzione è F (x) = x ⁴ , poiché quando si differenzia F (x) utilizzando la regola di derivazione per le potenze:

Otteniamo precisamente f (x) = 4x ³ .

Tuttavia, questo è solo uno dei tanti antiderivativi di f (x), poiché anche quest'altra funzione: G (x) = x ⁴ + 2 è, perché differenziando G (x) rispetto a x si ottiene la stessa indietro f (x).

Controlliamolo:

Ricorda che la derivata di una costante è 0. Pertanto , possiamo aggiungere qualsiasi costante al termine x ⁴ e la sua derivata rimarrà 4x ³ .

Si conclude che qualsiasi funzione della forma generale F (x) = x ⁴ + C, dove C è una costante reale, serve come antiderivativa di f (x).

L'esempio illustrativo sopra può essere espresso in questo modo:

dF (x) = 4x ³ dx

L'integrale antiderivativo o indefinito si esprime con il simbolo ∫, quindi:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Dove la funzione f (x) = 4x ³ è chiamata integrando e C è la costante di integrazione.

Esempi di antiderivativi

Figura 1. L'antiderivativo non è altro che un integrale indefinito. Fonte: Pixabay.

Trovare un antiderivativo di una funzione è semplice in alcuni casi in cui le derivate sono ben note. Ad esempio, sia la funzione f (x) = sin x, antiderivativa perché è un'altra funzione F (x), tale che differenziandola si ottiene f (x).

Quella funzione può essere:

F (x) = - cos x

Controlliamo che sia vero:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Quindi possiamo scrivere:

∫sen x dx = -cos x + C

Oltre a conoscere le derivate, esistono alcune regole di integrazione basilari e semplici per trovare l'integrale antiderivativo o indefinito.

Sia k una costante reale, quindi:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Se una funzione h (x) può essere espressa come addizione o sottrazione di due funzioni, il suo integrale indefinito è:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Questa è la proprietà della linearità.

La regola dei poteri per gli integrali può essere stabilita in questo modo:

Per il caso di n = -1, viene utilizzata la seguente regola:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

È facile mostrare che la derivata di ln x è precisamente x ^-1 .

Equazioni differenziali

Un'equazione differenziale è quella in cui l'ignoto si trova come derivato.

Ora, dall'analisi precedente, è facile rendersi conto che l'operazione inversa alla derivata è l'integrale antiderivativo o indefinito.

Sia f (x) = y´ (x), cioè la derivata di una certa funzione. Possiamo usare la seguente notazione per indicare questa derivata:

Ne consegue immediatamente che:

L'incognita dell'equazione differenziale è la funzione y (x), quella la cui derivata è f (x). Per risolverlo, l'espressione precedente è integrata su entrambi i lati, che equivale ad applicare l'antiderivativo:

L'integrale di sinistra viene risolto dalla regola di integrazione 1, con k = 1, risolvendo così l'incognita desiderata:

E poiché C è una costante reale, per sapere quale è appropriata in ogni caso, l'affermazione deve contenere sufficienti informazioni aggiuntive per calcolare il valore di C. Questa è chiamata condizione iniziale.

Vedremo esempi di applicazione di tutto questo nella prossima sezione.

Esercizi antiderivativi

- Esercizio 1

Applicare le regole di integrazione per ottenere i seguenti integrali antiderivativi o indefiniti delle funzioni date, semplificando il più possibile i risultati. È conveniente verificare il risultato per derivazione.

Figura 2. Esercizi di antiderivativi o integrali definiti. Fonte: Pixabay.

Soluzione a

Applichiamo prima la regola 3, poiché l'integrando è la somma di due termini:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Per il primo integrale si applica la regola del potere:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

Nella seconda regola integrale si applica 1, dove k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

E ora i risultati vengono aggiunti. Le due costanti sono raggruppate in una, chiamata genericamente C:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2) + 7x + C

Soluzione b

Per linearità, questo integrale è scomposto in tre integrali più semplici, ai quali verrà applicata la regola delle potenze:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Si noti che una costante di integrazione appare per ogni integrale, ma si incontrano in una singola chiamata C.

Soluzione c

In questo caso, è conveniente applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione per sviluppare l'integrando. Quindi la regola della potenza viene utilizzata per trovare ogni integrale separatamente, come nell'esercizio precedente.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Il lettore attento noterà che i due termini centrali sono simili, quindi vengono ridotti prima di integrarsi:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Soluzione e

Un modo per risolvere l'integrale sarebbe sviluppare la potenza, come è stato fatto nell'esempio d. Tuttavia, poiché l'esponente è maggiore, sarebbe opportuno modificare la variabile, in modo da non dover fare uno sviluppo così lungo.

Il cambio di variabile è il seguente:

u = x + 7

Derivando questa espressione da entrambe le parti:

du = dx

L'integrale viene trasformato in uno più semplice con la nuova variabile, che viene risolta con la regola del potere:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Infine la modifica viene restituita per tornare alla variabile originale:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Esercizio 2

Una particella è inizialmente a riposo e si muove lungo l'asse x. La sua accelerazione per t> 0 è data dalla funzione a (t) = cos t. È noto che in t = 0 la posizione è x = 3, tutte in unità del Sistema Internazionale. Viene chiesto di trovare la velocità v (t) e la posizione x (t) della particella.

Soluzione

Poiché l'accelerazione è la prima derivata della velocità rispetto al tempo, abbiamo la seguente equazione differenziale:

a (t) = v´ (t) = cos t

Ne consegue che:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

D'altra parte sappiamo che la velocità è a sua volta la derivata della posizione, quindi reintegriamo:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Le costanti di integrazione sono determinate dalle informazioni fornite nella dichiarazione. In primo luogo dice che la particella era inizialmente a riposo, quindi v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Allora abbiamo x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Le funzioni di velocità e posizione sono decisamente così:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Riferimenti

1. Engler, A. 2019. Calcolo integrale. Università Nazionale del Litorale.
2. Larson, R. 2010. Calcolo di una variabile. 9 °. Edizione. McGraw Hill.
3. Testi liberi di matematica. Primitive. Recupero da: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Primitiva. Estratto da: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Integrazione indefinita. Estratto da: es.wikipedia.org.