4 ESERCIZI DI FACTORING CON SOLUZIONI - MATEMATICA - 2024

Gli esercizi di fattorizzazione aiutano a comprendere questa tecnica, molto utilizzata in matematica ed è in procinto di scrivere una somma come prodotto di determinati termini.

La parola fattorizzazione si riferisce a fattori, che sono termini che moltiplicano altri termini. Ad esempio, nella scomposizione in fattori primi di un numero naturale, i numeri primi coinvolti sono chiamati fattori.

Cioè, 14 può essere scritto come 2 * 7. In questo caso, i fattori primi di 14 sono 2 e 7. Lo stesso vale per i polinomi di variabili reali.

Cioè, se hai un polinomio P (x), allora fattorizzare il polinomio consiste nello scrivere P (x) come prodotto di altri polinomi di grado inferiore al grado di P (x).

Factoring

Varie tecniche sono utilizzate per fattorizzare un polinomio, inclusi prodotti notevoli e calcolare le radici del polinomio.

Se abbiamo un polinomio di secondo grado P (x) e x1 e x2 sono le radici reali di P (x), allora P (x) può essere scomposto come "a (x-x1) (x-x2)", dove "a" è il coefficiente che accompagna la potenza quadratica.

Come vengono calcolate le radici?

Se il polinomio è di grado 2, allora le radici possono essere calcolate con la formula chiamata "il risolvente".

Se il polinomio è di grado 3 o superiore, per il calcolo delle radici viene solitamente utilizzato il metodo Ruffini.

4 esercizi di factoring

Primo esercizio

Fattorizzare il seguente polinomio: P (x) = x²-1.

Soluzione

Non è sempre necessario utilizzare il resolvent. In questo esempio puoi usare un prodotto straordinario.

Riscrivendo il polinomio come segue possiamo vedere quale prodotto degno di nota utilizzare: P (x) = x² - 1².

Usando il prodotto notevole 1, differenza dei quadrati, abbiamo che il polinomio P (x) può essere scomposto come segue: P (x) = (x + 1) (x-1).

Ciò indica inoltre che le radici di P (x) sono x1 = -1 e x2 = 1.

Secondo esercizio

Fattorizzare il seguente polinomio: Q (x) = x³ - 8.

Soluzione

C'è un prodotto notevole che dice quanto segue: a³-b³ = (ab) (a² + ab + b²).

Sapendo questo, il polinomio Q (x) può essere riscritto come segue: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Ora, usando il notevole prodotto descritto, abbiamo che la fattorizzazione del polinomio Q (x) è Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

Il polinomio quadratico emerso nel passaggio precedente resta da fattorizzare. Ma se lo guardi, Remarkable Product # 2 può aiutarti; quindi, la fattorizzazione finale di Q (x) è data da Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Questo dice che una radice di Q (x) è x1 = 2 e che x2 = x3 = 2 è l'altra radice di Q (x), che viene ripetuta.

Terzo esercizio

Fattore R (x) = x² - x - 6.

Soluzione

Quando un prodotto notevole non può essere rilevato, o l'esperienza necessaria per manipolare l'espressione non è disponibile, si procede con l'uso del risolvente. I valori sono i seguenti a = 1, b = -1 e c = -6.

Sostituendoli nella formula si ottiene x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5 )/Due.

Da qui ci sono due soluzioni che sono le seguenti:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Pertanto, il polinomio R (x) può essere scomposto come R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

Quarto esercizio

Fattore H (x) = x³ - x² - 2x.

Soluzione

In questo esercizio, possiamo iniziare prendendo il fattore comune x e otteniamo che H (x) = x (x²-x-2).

Pertanto, resta solo da fattorizzare il polinomio quadratico. Usando ancora il resolvent, abbiamo che le radici sono:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Pertanto le radici del polinomio quadratico sono x1 = 1 e x2 = -2.

In conclusione, la fattorizzazione del polinomio H (x) è data da H (x) = x (x-1) (x + 2).

Riferimenti

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