NUMERI IRRAZIONALI: STORIA, PROPRIETÀ, CLASSIFICAZIONE, ESEMPI - MATEMATICA - 2025

I numeri irrazionali sono quelli la cui espressione ha infinite cifre decimali senza uno schema ripetitivo, quindi, non possono essere ottenuti dal rapporto tra due interi qualsiasi.

Tra i numeri irrazionali più noti ci sono:

Figura 1. Dall'alto in basso i seguenti numeri irrazionali: pi greco, numero di Eulero, sezione aurea e due radici quadrate. Fonte: Pixabay.

Tra questi, senza dubbio π (pi) è il più familiare, ma ce ne sono molti altri. Tutti appartengono all'insieme dei numeri reali, che è l'insieme numerico che raggruppa i numeri razionali e quelli irrazionali.

I puntini di sospensione nella figura 1 indicano che i decimali continuano indefinitamente, ciò che accade è che lo spazio delle calcolatrici ordinarie consente solo di visualizzarne alcuni.

Se guardiamo attentamente, ogni volta che facciamo il quoziente tra due numeri interi, otteniamo un decimale con cifre limitate o, in caso contrario, con cifre infinite in cui uno o più vengono ripetuti. Ebbene, questo non accade con i numeri irrazionali.

Storia di numeri irrazionali

Il grande matematico antico Pitagora, nato nel 582 a.C. a Samos, in Grecia, fondò la scuola di pensiero pitagorica e scoprì il famoso teorema che porta il suo nome. Lo abbiamo qui a sinistra (i babilonesi potrebbero averlo saputo molto prima).

Figura 2. Il teorema di Pitagora applicato a un triangolo con lati pari a 1. Fonte: Pixabay / Wikimedia Commons.

Ebbene, quando Pitagora (o probabilmente un suo discepolo) applicò il teorema a un triangolo rettangolo con lati uguali a 1, trovò il numero irrazionale √2.

Lo ha fatto in questo modo:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

E si rese subito conto che questo nuovo numero non proveniva dal quoziente tra altri due numeri naturali, che erano quelli conosciuti in quel momento.

Lo definì quindi irrazionale e la scoperta causò grande ansia e smarrimento tra i pitagorici.

Proprietà dei numeri irrazionali

-Il insieme di tutti i numeri irrazionali viene indicato con la lettera I e talvolta come Q * o Q ^C . L'unione tra i numeri irrazionali I o Q * e i numeri razionali Q, dà origine all'insieme dei numeri reali R.

-Con numeri irrazionali, possono essere eseguite le operazioni aritmetiche conosciute: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenziamento e altro.

-Neanche la divisione per 0 è definita tra numeri irrazionali.

-La somma e il prodotto tra numeri irrazionali non è necessariamente un altro numero irrazionale. Per esempio:

√2 x √8 = √16 = 4

E 4 non è un numero irrazionale.

-Tuttavia, la somma di un numero razionale più un numero irrazionale dà un risultato irrazionale. In questo modo:

1 + √2 = 2,41421356237…

-Il prodotto di un numero razionale diverso da 0 per un numero irrazionale è anche irrazionale. Diamo un'occhiata a questo esempio:

2 x √2 = 2,828427125 …

-L'inverso di un irrazionale risulta in un altro numero irrazionale. Proviamone alcuni:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Questi numeri sono interessanti perché sono anche i valori di alcuni rapporti trigonometrici di angoli noti. La maggior parte dei rapporti trigonometrici sono numeri irrazionali, ma ci sono eccezioni, come sin 30º = 0,5 = ½, che è razionale.

-Nella somma le proprietà commutative e associative sono soddisfatte. Se aeb sono due numeri irrazionali, significa che:

a + b = b + a.

E se c è un altro numero irrazionale, allora:

(a + b) + c = a + (b + c).

-La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione è un'altra ben nota proprietà che vale anche per i numeri irrazionali. In questo caso:

a. (b + c) = ab + ac

-Un irrazionale a ha il suo opposto: -a. Quando vengono sommati, il risultato è 0:

a + (- a) = 0

-Tra due diversi razionali, c'è almeno un numero irrazionale.

Posizione di un numero irrazionale sulla linea reale

La linea reale è una linea orizzontale in cui si trovano i numeri reali, di cui i numeri irrazionali sono una parte importante.

Per trovare un numero irrazionale sulla linea reale, in forma geometrica, possiamo usare il teorema di Pitagora, un righello e un compasso.

Ad esempio, localizzeremo √5 sulla retta reale, per la quale disegniamo un triangolo rettangolo con lati x = 2 e y = 1, come mostrato in figura:

Figura 3. Metodo per individuare un numero irrazionale sulla linea reale. Fonte: F. Zapata.

Secondo il teorema di Pitagora, l'ipotenusa di un tale triangolo è:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Ora il compasso è posizionato con il punto a 0, dove si trova anche uno dei vertici del triangolo rettangolo. La punta della matita della bussola dovrebbe essere al vertice A.

Viene disegnato un arco di circonferenza che taglia la linea reale. Poiché la distanza tra il centro della circonferenza e qualsiasi punto su di essa è il raggio, che è uguale a √5, anche il punto di intersezione è lontano √5 dal centro.

Dal grafico si può vedere che √5 è compreso tra 2 e 2,5. Una calcolatrice ci fornisce il valore approssimativo di:

√5 = 2,236068

E così, costruendo un triangolo con i lati appropriati, è possibile localizzarne altri irrazionali, come √7 e altri.

Classificazione dei numeri irrazionali

I numeri irrazionali sono classificati in due gruppi:

-Algebrico

-Trascendentale o trascendentale

Numeri algebrici

I numeri algebrici, che possono o non possono essere irrazionali, sono soluzioni di equazioni polinomiali la cui forma generale è:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Un esempio di equazione polinomiale è un'equazione quadratica come questa:

x ³ - 2x = 0

È facile mostrare che il numero irrazionale √2 è una delle soluzioni di questa equazione.

Numeri trascendenti

D'altra parte, i numeri trascendenti, sebbene siano irrazionali, non sorgono mai come soluzione a un'equazione polinomiale.

I numeri trascendenti che si trovano più frequentemente nella matematica applicata sono π, a causa della sua relazione con la circonferenza e il numero e, o il numero di Eulero, che è la base dei logaritmi naturali.

Esercizio

Un quadrato grigio è posto su un quadrato nero nella posizione indicata in figura. Si sa che l'area del quadrato nero è di 64 cm ² . Quanto sono le lunghezze di entrambi i quadrati?

Figura 4. Due quadrati, di cui vogliamo trovare la lunghezza dei lati. Fonte: F. Zapata.

rispondere

L'area di un quadrato con lato L è:

A = L ²

Poiché il quadrato nero ha un'area di 64 cm ² , il suo lato deve essere di 8 cm.

Questa misura è la stessa della diagonale del quadrato grigio. Applicando il teorema di Pitagora a questa diagonale, e ricordando che i lati di un quadrato misurano la stessa cosa, avremo:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Dove L _g è il lato del quadrato grigio.

Quindi: 2L _g ² = 8 ²

Applicazione della radice quadrata a entrambi i lati dell'uguaglianza:

L _g = (8 / √2) cm

Riferimenti

1. Carena, M. 2019. Manuale di matematica pre-universitaria. Università Nazionale del Litorale.
2. Figuera, J. 2000. Matematica 9th. Grado. Edizioni CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Portale educativo. Numeri irrazionali e loro proprietà. Recupero da: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Numeri irrazionali. Estratto da: es.wikipedia.org.