- applicazioni
- Notazione e rappresentazioni vettoriali 3D
- Angles and Director Cosines of a Vector
- Esercizi risolti
- -Esercizio 1
- Soluzione
- -Esercizio 2
- Soluzione
- Passaggio 1: trova le coordinate di tutti i punti
- Passaggio 2: trova i vettori in ciascuna direzione sottraendo le coordinate della fine e dell'inizio
- Passaggio 3: calcolo di moduli e vettori di unità
- Passaggio 4: esprimere tutte le sollecitazioni come vettori
- Passaggio 5: applicare la condizione di equilibrio statico e risolvere il sistema di equazioni
- Riferimenti
Un vettore nello spazio è tutto ciò che è rappresentato da un sistema di coordinate dato da x, y e z. Il più delle volte il piano xy è il piano della superficie orizzontale e l'asse z rappresenta l'altezza (o la profondità).
Gli assi delle coordinate cartesiane mostrati nella figura 1 dividono lo spazio in 8 regioni chiamate ottanti, analogamente a come gli assi x - y dividono il piano in 4 quadranti. Avremo quindi il 1 ° ottante, il 2 ° ottante e così via.
Figura 1. Un vettore nello spazio. Fonte: autocostruito.
La figura 1 contiene una rappresentazione di un vettore v nello spazio. È necessaria una certa prospettiva per creare l'illusione delle tre dimensioni sul piano dello schermo, che si ottiene disegnando una vista obliqua.
Per rappresentare graficamente un vettore 3D, è necessario utilizzare le linee tratteggiate che determinano sulla griglia le coordinate della proiezione o "ombra" di v sulla superficie xy. Questa proiezione inizia in O e termina nel punto verde.
Una volta lì, bisogna proseguire lungo la verticale fino all'altezza (o profondità) necessaria in base al valore di z, fino a raggiungere P. Il vettore viene disegnato partendo da O e terminando in P, che nell'esempio è al 1 ° ottante.
applicazioni
I vettori nello spazio sono ampiamente usati nella meccanica e in altri rami della fisica e dell'ingegneria, poiché le strutture che ci circondano richiedono la geometria in tre dimensioni.
I vettori di posizione nello spazio sono usati per posizionare gli oggetti rispetto a un punto di riferimento chiamato origine OR, quindi sono anche strumenti necessari nella navigazione, ma non solo.
Le forze che agiscono su strutture come bulloni, staffe, cavi, montanti e altro sono di natura vettoriale e orientate nello spazio. Per conoscerne l'effetto, è necessario conoscere il suo indirizzo (e anche il suo punto di applicazione).
E spesso la direzione di una forza è conosciuta conoscendo due punti nello spazio che appartengono alla sua linea di azione. In questo modo la forza è:
F = F u
Dove F è la grandezza o la grandezza della forza ed u è il vettore (modulo 1) diretto lungo la linea di azione F .
Notazione e rappresentazioni vettoriali 3D
Prima di procedere con la risoluzione di alcuni esempi, esamineremo brevemente la notazione vettoriale 3D.
Nell'esempio di Figura 1, il vettore v, il cui punto di origine coincide con l'origine O e la cui estremità è il punto P, ha coordinate xyz positive, mentre la coordinata y è negativa. Queste coordinate sono: x 1 , y 1 , z 1 , che sono precisamente le coordinate di P.
Quindi se abbiamo un vettore legato all'origine, cioè il cui punto di partenza coincide con O, è molto facile indicarne le coordinate, che saranno quelle del punto estremo o P. Per distinguere tra un punto e un vettore, useremo per le ultime lettere in grassetto e parentesi quadre, in questo modo:
v = <x 1 , y 1 , z 1 >
Mentre il punto P è indicato con parentesi:
P = (x 1 , y 1 , z 1 )
Un'altra rappresentazione fa uso dei vettori unitari i , j e k che definiscono le tre direzioni dello spazio sugli assi x, y e z rispettivamente.
Questi vettori sono perpendicolari tra loro e formano una base ortonormale (vedi figura 2). Ciò significa che un vettore 3D può essere scritto in termini di essi come:
v = v x io + v y j + v z k
Angles and Director Cosines of a Vector
La Figura 2 mostra anche gli angoli direttrici γ 1 , γ 2 e γ 3 che il vettore v crea rispettivamente con gli assi x, yez. Conoscendo questi angoli e la grandezza del vettore, è completamente determinato. Inoltre, i coseni degli angoli del regista soddisfano la seguente relazione:
(cos γ 1 ) 2 + (cos γ 2 ) 2 + (cos γ 3 ) 2 = 1
Figura 2. I vettori unitari i, j e k determinano le 3 direzioni preferenziali dello spazio. Fonte: autocostruito.
Esercizi risolti
-Esercizio 1
Nella figura 2 gli angoli γ 1 , γ 2 e γ 3 che il vettore v del modulo 50 forma con gli assi coordinati sono rispettivamente: 75.0º, 60.0º e 34.3º. Trova le componenti cartesiane di questo vettore e rappresentalo in termini di vettori unitari i , j e k .
Soluzione
La proiezione del vettore v sull'asse x è v x = 50. cos 75º = 12.941. Allo stesso modo, la proiezione di v sull'asse y è v y = 50 cos 60 º = 25 e infine sull'asse z è v z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Ora v può essere espresso come:
v = 12,9 io + 25,0 j + 41,3 k
-Esercizio 2
Trova le tensioni in ciascuno dei cavi che tengono il secchio nella figura che è in equilibrio, se il suo peso è 30 N.
Figura 3. Diagramma dello stress per l'esercizio 2.
Soluzione
Sulla benna, il diagramma a corpo libero indica che T D (verde) compensa il peso W (giallo), quindi T D = W = 30 N.
Al nodo, il vettore T D è diretto verticalmente verso il basso, quindi:
T D = 30 (- k ) N.
Per stabilire le tensioni rimanenti, attenersi alla seguente procedura:
Passaggio 1: trova le coordinate di tutti i punti
A = (4.5,0,3) (A è sul piano del muro xz)
B = (1.5,0,0) (B è sull'asse x)
C = (0, 2.5, 3) (C è sul piano del muro ez)
D = (1.5, 1.5, 0) (D è sul piano xy orizzontale)
Passaggio 2: trova i vettori in ciascuna direzione sottraendo le coordinate della fine e dell'inizio
DA = <3; -1,5; 3>
DC = <-1,5; uno; 3>
DB = <0; -1,5; 0>
Passaggio 3: calcolo di moduli e vettori di unità
Un vettore unitario si ottiene dall'espressione: u = r / r, dove r (in grassetto) è il vettore e r (non in grassetto) è il modulo di detto vettore.
DA = (3 2 + (-1,5) 2 + 3 2 ) ½ = 4,5; DC = ((-1,5) 2 + 1 2 + 3 2 ) ½ = 3,5
u DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0.67>
u DC = <-1,5; uno; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>
u DB = <0; -uno; 0>
u D = <0; 0; -1>
Passaggio 4: esprimere tutte le sollecitazioni come vettori
T DA = T DA u DA = T DA <0,67; -0,33; 0.67>
T DC = T DC u DC = T DC <-0,43; 0,29; 0,86>
T DB = T DB u DB = T DB <0; -uno; 0>
T D = 30 <0; 0; -1>
Passaggio 5: applicare la condizione di equilibrio statico e risolvere il sistema di equazioni
Infine, al bucket viene applicata la condizione di equilibrio statico, in modo che la somma vettoriale di tutte le forze sul nodo sia zero:
T DA + T DC + T DB + T D = 0
Poiché le tensioni sono nello spazio, risulterà in un sistema di tre equazioni per ogni componente (x, yez) delle tensioni.
0,67 T DA -0,43 T DC + 0 T DB = 0
-0,33 T DA + 0,29 T DC - T DB = 0
0,67 T DA + 0,86 T DC +0 T DB - 30 = 0
La soluzione è: T DA = 14,9 N; T DA = 23,3 N; T DB = 1,82 N
Riferimenti
- Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volume 1. Cinematica. 31-68.
- Fisico. Modulo 8: vettori. Estratto da: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Meccanica per ingegneri. Statico 6a edizione. Continental Publishing Company. 15-53.
- Calcolatrice addizione vettoriale. Estratto da: 1728.org