Il teorema di Lamy afferma che quando un corpo rigido è in equilibrio e l'azione di tre forze complanari (forze sullo stesso piano), le sue linee di azione si incontrano nello stesso punto.
Il teorema è stato dedotto dal fisico e religioso francese Bernard Lamy e ha avuto origine dalla legge del seno. È ampiamente utilizzato per trovare il valore di un angolo, della linea di azione di una forza o per formare il triangolo delle forze.
Teorema di Lamy
Il teorema afferma che affinché la condizione di equilibrio sia soddisfatta le forze devono essere complanari; ovvero, la somma delle forze esercitate su un punto è zero.
Inoltre, come si può vedere nell'immagine seguente, è vero che prolungando le linee di azione di queste tre forze, convergono nello stesso punto.
In questo modo, se tre forze che sono sullo stesso piano e sono concorrenti, l'ampiezza di ciascuna forza sarà proporzionale al seno dell'angolo opposto, che è formato dalle altre due forze.
Abbiamo quindi che T1, a partire dal seno di α, è uguale al rapporto T2 / β, che a sua volta è uguale al rapporto T3 / Ɵ, cioè:
Da lì ne consegue che i moduli di queste tre forze devono essere uguali se gli angoli che ciascuna coppia di forze forma tra di loro sono uguali a 120º.
È possibile che uno degli angoli sia ottuso (misura tra 90 0 e 180 0 ). In quel caso il seno di quell'angolo sarà uguale al seno dell'angolo supplementare (nella sua coppia misura 180 0 ).
Esercizio risolto
Esiste un sistema composto da due blocchi J e K, che pendono da varie corde ad angolo rispetto all'orizzontale, come mostrato in figura. Il sistema è in equilibrio e il blocco J pesa 240 N. Determinare il peso del blocco K.
Soluzione
Secondo il principio di azione e reazione, le sollecitazioni esercitate nei blocchi 1 e 2 saranno pari al loro peso.
Ora viene costruito un diagramma del corpo libero per ogni blocco per determinare gli angoli che formano il sistema.
È noto che l'accordo che va da A a B ha un angolo di 30 0 , per cui l'angolo che lo completa è uguale a 60 0 . In questo modo arrivi a 90 0 .
D'altra parte, dove si trova il punto A, c'è un angolo di 60 0 rispetto all'orizzontale; l'angolo tra la verticale e T A sarà = 180 0 - 60 0 - 90 0 = 30 0 .
Otteniamo così che l'angolo tra AB e BC = (30 0 + 90 0 + 30 0 ) e (60 0 + 90 0 + 60) = 150 0 e 210 0 . Quando viene aggiunto, l'angolo totale risulta essere 360 0 .
Applicando il teorema di Lamy abbiamo:
T BC / sin 150 0 = P A / sin 150 0
T BC = P A
T BC = 240 N.
Nel punto C, dove si trova il blocco, l'angolo tra l'orizzontale e la corda BC è 30 0 , quindi l'angolo complementare è uguale a 60 0 .
D'altra parte, c'è un angolo di 60 0 nel punto CD; l'angolo tra la verticale e T C sarà = 180 0 - 90 0 - 60 0 = 30 0 .
Si ottiene così che l'angolo nel blocco K è = (30 0 + 60 0 )
Applicando il teorema di Lamy al punto C:
T BC / sin 150 0 = B / sin 90 0
Q = T BC * sin 90 0 / sin 150 0
Q = 240 N * 1 / 0,5
Q = 480 N.
Riferimenti
- Andersen, K. (2008). La geometria di un'arte: la storia della teoria matematica della prospettiva da Alberti a Monge. Springer Science & Business Media.
- Ferdinand P. Beer, ER (2013). Meccanica per ingegneri, Statica. McGraw-Hill Interamericana.
- Francisco Español, JC (2015). Risolti problemi di algebra lineare. Ediciones Paraninfo, SA
- Graham, J. (2005). Forza e movimento. Houghton Mifflin Harcourt.
- Harpe, P. d. (2000). Argomenti in Teoria geometrica dei gruppi. University of Chicago Press.
- P. A Tipler e, GM (2005). Fisica per scienza e tecnologia. Volume I. Barcellona: Reverté SA