ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ: TIPI, SPIEGAZIONE, ESEMPI, ESERCIZI - DUDAS - 2024

Gli assiomi della probabilità sono proposizioni matematiche che si riferiscono alla teoria della probabilità, che non meritano la prova. Gli assiomi furono stabiliti nel 1933 dal matematico russo Andrei Kolmogorov (1903-1987) nei suoi Fondamenti della teoria della probabilità e gettarono le basi per lo studio matematico della probabilità.

Quando si esegue un certo esperimento casuale ξ, lo spazio campionario E è l'insieme di tutti i possibili risultati dell'esperimento, chiamati anche eventi. Ogni evento è indicato come A e P (A) è la probabilità che si verifichi. Quindi Kolmogorov ha stabilito che:

Figura 1. Gli assiomi della probabilità ci permettono di calcolare la probabilità di vincere giochi d'azzardo come la roulette. Fonte: Pixabay.

- Assioma 1 (non negatività) : la probabilità che si verifichi un qualsiasi evento A è sempre positiva o nulla, P (A) ≥0. Quando la probabilità di un evento è 0, viene chiamato evento impossibile.

- Assioma 2 (certezza) : ogni volta che un evento che appartiene a E, la sua probabilità di accadimento è 1, che possiamo esprimere come P (E) = 1. Questo è noto come un determinato evento, poiché quando si esegue un esperimento, c'è sicuramente un risultato.

- Assioma 3 (addizione) : nel caso di due o più eventi incompatibili a due a due, chiamati A ₁ , A ₂ , A ₃ …, la probabilità che _si verifichi l'evento A ₁ più A ₂ più A ₃ e così via successivamente, è la somma delle probabilità che ciascuna accada separatamente.

Questo è espresso come: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) +…

Figura 2. Il notevole matematico russo Andrei Kolmogorov (1903-1987), che pose le basi per la probabilità assiomatica. Fonte: Wikimedia Commons.

Esempio

Gli assiomi della probabilità sono ampiamente utilizzati in una moltitudine di applicazioni. Per esempio:

Una puntina da disegno o virata viene lanciata in aria e quando cade a terra c'è la possibilità di atterrare con il punto in alto (U) o con il punto in basso (D) (non prenderemo in considerazione altre possibilità). Lo spazio campione per questo esperimento è costituito da questi eventi, quindi E = {U, D}.

Figura 3. Nell'esperimento di lancio della virata ci sono due eventi con diverse probabilità: atterraggio con la punta verso l'alto o verso il suolo. Fonte: Pixabay.

Applicando gli assiomi abbiamo:

Se è altrettanto probabile che atterri su o giù, P (U) = P (D) = ½ (Assioma 1). Tuttavia, la costruzione e il design della puntina da disegno possono aumentare le probabilità che cada in un modo o nell'altro. Ad esempio, potrebbe essere che P (U) = ¾ mentre P (D) = ¼ (Assioma 1).

Notare che in entrambi i casi la somma delle probabilità dà 1. Tuttavia, gli assiomi non indicano come assegnare le probabilità, almeno non completamente. Ma affermano che sono numeri compresi tra 0 e 1 e che, come in questo caso, la somma di tutto è 1.

Modi per assegnare probabilità

Gli assiomi della probabilità non sono un metodo per assegnare il valore della probabilità. Per questo ci sono tre opzioni compatibili con gli assiomi:

La regola di Laplace

Ad ogni evento viene assegnata la stessa probabilità di accadimento, quindi la probabilità di accadimento è definita come:

Ad esempio, qual è la probabilità di pescare un asso da un mazzo di carte francesi? Il mazzo ha 52 carte, 13 di ogni seme e ci sono 4 semi. Ogni seme ha 1 assi, quindi in totale ci sono 4 assi:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

La regola di Laplace è limitata a spazi campionari finiti, dove ogni evento è ugualmente probabile.

Frequenza relativa

Qui l'esperimento deve essere ripetibile, poiché il metodo si basa sull'esecuzione di un gran numero di ripetizioni.

Facciamo i ripetizioni dell'esperimento ξ, di cui troviamo che n è il numero di volte che si verifica un determinato evento A, quindi la probabilità che questo evento si verifichi è:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Dove n / i è la frequenza relativa di un evento.

Definire P (A) in questo modo soddisfa gli assiomi di Kolmogorov, ma ha lo svantaggio di dover eseguire molti test affinché la probabilità sia appropriata.

Metodo soggettivo

Una persona o un gruppo di persone può concordare di assegnare probabilità a un evento, attraverso il proprio giudizio. Questo metodo ha lo svantaggio che persone diverse possono assegnare probabilità diverse allo stesso evento.

Esercizio risolto

Nell'esperimento del lancio simultaneo di 3 monete oneste, ottieni le probabilità degli eventi descritti:

a) 2 teste e una coda.

b) 1 testa e due code

c) 3 croci.

d) Almeno 1 faccia.

Soluzione a

Le teste sono indicate con C e le code con X. Ma ci sono diversi modi per ottenere due teste e una coda. Ad esempio, le prime due monete possono dare testa e la terza può dare croce. Oppure il primo può cadere testa, il secondo croce e il terzo testa. E infine il primo può essere croce e le rimanenti teste.

Per rispondere alle domande è necessario conoscere tutte le possibilità, che sono descritte in uno strumento chiamato diagramma ad albero o albero delle probabilità:

Figura 4. Diagramma ad albero per il lancio simultaneo di tre monete oneste. Fonte: F. Zapata.

La probabilità che una moneta sia testa è ½, lo stesso vale per la croce, poiché la moneta è onesta. La colonna di destra elenca tutte le possibilità che ha il lancio, cioè lo spazio campione.

Dallo spazio campionario vengono scelte le combinazioni che rispondono all'evento richiesto, poiché l'ordine in cui compaiono i volti non è importante. Ci sono tre eventi favorevoli: CCX, CXC e XCC. La probabilità che ogni evento accada è:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Lo stesso accade per gli eventi CXC e XCC, ognuno ha una probabilità di 1/8 di accadere. Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 teste è la somma delle probabilità di tutti gli eventi favorevoli:

P (2 lati) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Soluzione b

Trovare la probabilità che si verifichino esattamente due incroci è un problema analogo al precedente, ci sono anche tre eventi favorevoli presi dallo spazio campionario: CXX, XCX e XXC. Così:

P (2 croci) = 3/8 = 0,375

Soluzione c

Intuitivamente sappiamo che la probabilità di ottenere 3 croci (o 3 teste) è inferiore. In questo caso l'evento ricercato è XXX, alla fine della colonna di destra, la cui probabilità è:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Soluzione d

Si richiede di ottenere almeno 1 faccia, questo significa che possono uscire 3 facce, 2 facce oppure 1 faccia. L'unico evento incompatibile con questo è quello in cui escono 3 code, la cui probabilità è 0,125. Pertanto la probabilità ricercata è:

P (almeno 1 testa) = 1 - 0,125 = 0,875.

Riferimenti

1. Canavos, G. 1988. Probabilità e statistica: applicazioni e metodi. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilità e statistica per l'ingegneria e la scienza. 8 °. Edizione. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teoria della probabilità. Editoriale Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze. Pearson.